1. Demonstre que .
  2. Demonstre a Propriedade 6 do produto vetorial, ou seja,

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas identidades envolvendo produto vetorial em R^3:
  1. (a-b)times(a+b)=2,(atimesb).
  2. atimes(btimesc)=(acdotc),b - (acdotb),c
    Vamos usar as propriedades de bilinearidade, anticomutatividade do produto vetorial e, no caso da segunda, a notação de componentes com o símbolo de Levi-Civita.

Passo 2

Lembramos que o produto vetorial satisfaz:
utimes(v+w) = utimesv + utimesw,
(u-v)timesw = utimesw - vtimesw,
utimesu=0 e vtimesu = -,utimesv

Passo 3

Aplicando essas propriedades em (a-b)times(a+b), temos
(a-b)times(a+b) = atimesa + atimesb - btimesa - btimesb
Como atimesa=0 e btimesb=0, e ainda btimesa=-,atimesb, segue
(a-b)times(a+b) = atimesb - l(-,atimesbr) = 2,l(atimesbr)

Passo 4

Agora provamos a identidade da “propriedade 6”, denominada produto vetorial triplo. Nas componentes, definimos
(btimes c)m = varepsilonmjk,bj,ck, l(atimes(btimes c)r)i = varepsilonilm,al,(btimes c)m = varepsilonilm,varepsilonmjk,al,bj,ck,
onde varepsilonijk é o símbolo de Levi-Civita.

Passo 5

Usamos a identidade de contração
varepsilonilm,varepsilonmjk = de<aij,de<alk ;-;de<aik,de<alj,
sendo de<aij o delta de Kronecker. Assim
l(atimes(btimes c)r)i = l(de<aij,de<alk - de<aik,de<aljr),al,bj,ck = ak,bi,ck - aj,bj,ci
Mas ak,ck = acdotc e aj,bj = acdotb. Logo
l(atimes(btimes c)r)i = (acdotc),bi - (acdotb),ci,
o que em forma vetorial dá
atimes(btimesc) = (acdotc),b - (acdotb),c

Resposta

(49) (a-b) times(a+b)=2,(atimesb)
(50) a times(b times c)=(a cdot c),b - (a cdot b),c

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