- Demonstre que
.
- Demonstre a Propriedade 6 do produto vetorial, ou seja,
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas identidades envolvendo produto vetorial em
:
-
. -
Vamos usar as propriedades de bilinearidade, anticomutatividade do produto vetorial e, no caso da segunda, a notação de componentes com o símbolo de Levi-Civita.
Passo 2
Lembramos que o produto vetorial satisfaz:
,
,
e
Passo 3
Aplicando essas propriedades em
, temos
Como
e
, e ainda
, segue
Passo 4
Agora provamos a identidade da “propriedade 6”, denominada produto vetorial triplo. Nas componentes, definimos
onde
é o símbolo de Levi-Civita.
Passo 5
Usamos a identidade de contração
sendo
o delta de Kronecker. Assim
Mas
e
. Logo
o que em forma vetorial dá
Resposta
(49)
(50)
(50)