ABCD é um trapézio com AB=2 a, DC=a e DA=b. O ponto E é al que BE=13 BC. Escreva o vetor DE como uma combinação linear dos vetores a e b.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! Temos um trapézio ABCD com os vetores AB = 2,a, DC = a e DA = b. Além disso, o ponto E está tal que BE = 13BC. Nosso objetivo é escrever o vetor DE como uma combinação linear dos vetores a e b. Vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial e combinação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos pontos no trapézio. Como ABCD é um trapézio, os lados AB e DC são paralelos. Sabemos que AB = 2,a e DC = a, então podemos estabelecer uma relação entre esses vetores.

Passo 3

Vamos escolher um ponto de referência. Vamos considerar o ponto A como origem, ou seja, OA = 0. Assim, podemos expressar as posições dos outros pontos em termos de a e b:
OB = OA + AB = 0 + 2,a = 2,a
OD = OA + AD = 0 + b = b

Passo 4

Agora, vamos encontrar a posição do ponto C. Sabemos que DC = a, então:
OC = OD + DC = b + a = a + b

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar a posição do ponto E. Sabemos que BE = 13BC. Primeiro, vamos encontrar BC:
BC = OC - OB = (a + b) - 2,a = -a + b
Então,
BE = 13(-a + b) = -13a + 13b

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição de E em relação a B:
OE = OB + BE = 2,a + (-13a + 13b) = 53a + 13b

Passo 7

Finalmente, queremos encontrar DE. Sabemos que:
DE = OE - OD = (53a + 13b) - b = 53a - 23b

Resposta

O vetor DE pode ser escrito como:
DE = 53a - 23b

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