Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço no espaço tridimensional . O subespaço é formado por vetores da forma , onde , e são números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os vetores em são formados. Cada vetor em depende de três parâmetros: , e . Podemos escrever isso de forma vetorial:
Nosso objetivo é expressar esses vetores como combinações lineares de vetores fixos, para então identificar uma base e contar quantos vetores têm nessa base (a dimensão).
Passo 3
Vamos reescrever o vetor destacando os coeficientes de , e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e .
Passo 4
Agora, precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base de e a dimensão será 3. Se não forem, eliminamos os que são combinações lineares dos outros para encontrar a base.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante:
Como (0, 1, 1) é uma combinação dos outros dois vetores, podemos usar apenas (1, 0, 2) e (-1, 1, -1) como base de W . Agora, vamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes.
Montamos a matriz com eles:
1 & -1 0 & 1 2 & -1
Calculando o determinante dos vetores reduzidos (as duas primeiras componentes):
1 cdot 1 - (-1) cdot 0 = 1 neq 0
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base para W .
Resposta
A base de W é formada pelos vetores (1, 0, 2) e (-1, 1, -1) , e a dimensão de W é 2.