Encontre a base e a dimensão do subespaço
W=(a-b, b+c, 2 a-b+c) in R^3 mid a, b e c in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar uma base e a dimensão de um subespaço W no espaço tridimensional R^3 . O subespaço W é formado por vetores da forma (a - b, b + c, 2a - b + c) , onde a , b e c são números reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os vetores em W são formados. Cada vetor em W depende de três parâmetros: a , b e c . Podemos escrever isso de forma vetorial:
W = (a - b, ; b + c, ; 2a - b + c) ;midd<=|; a, b, c in R
Nosso objetivo é expressar esses vetores como combinações lineares de vetores fixos, para então identificar uma base e contar quantos vetores têm nessa base (a dimensão).

Passo 3

Vamos reescrever o vetor (a - b, b + c, 2a - b + c) destacando os coeficientes de a , b e c :
(a - b, ; b + c, ; 2a - b + c) = a cdot (1, 0, 2) + b cdot (-1, 1, -1) + c cdot (0, 1, 1)
Isso mostra que qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1, 0, 2) , (-1, 1, -1) e (0, 1, 1) .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base de W e a dimensão será 3. Se não forem, eliminamos os que são combinações lineares dos outros para encontrar a base.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante:
1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 2 & -1 & 1
Calculando o determinante:
1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot (-1)) - (-1) cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 2) + 0 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 2) = 1 cdot (1 + 1) + 1 cdot (-2) + 0 = 2 - 2 + 0 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 5

Vamos descobrir qual vetor é dependente. Observando os vetores:
(1, 0, 2), (-1, 1, -1), (0, 1, 1)
Perceba que somando os três vetores:
(1) + (-1) + (0) = 0 (0) + (1) + (1) = 2 (2) + (-1) + (1) = 2
Não fica claro imediatamente qual é dependente, então vamos tentar expressar um deles como combinação dos outros dois. Vamos tentar:
Assuma que (0, 1, 1) = alpha(1, 0, 2) + beta(-1, 1, -1) .
Resolvendo:
0 = alpha - beta 1 = 0 + beta 1 = 2alpha - beta
Da segunda equação, beta = 1 . Da primeira, alpha = 1 . Substituindo na terceira:
1 = 2(1) - 1 Rightarrow 1 = 2 - 1 Rightarrow 1 = 1
Então, (0, 1, 1) = 1 cdot (1, 0, 2) + 1 cdot (-1, 1, -1) . Portanto, (0, 1, 1) é dependente.

Passo 6

Como (0, 1, 1) é uma combinação dos outros dois vetores, podemos usar apenas (1, 0, 2) e (-1, 1, -1) como base de W . Agora, vamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes.
Montamos a matriz com eles:
1 & -1 0 & 1 2 & -1
Calculando o determinante dos vetores reduzidos (as duas primeiras componentes):
1 cdot 1 - (-1) cdot 0 = 1 neq 0
Como o determinante não é zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base para W .

Resposta

A base de W é formada pelos vetores (1, 0, 2) e (-1, 1, -1) , e a dimensão de W é 2.

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