Ábea de uma lâmina: D limitado por \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0 \mathrm{e} \mathrm{x}+\mathrm{y}=2. Densidade superficial \delta(\mathrm{x}, \mathrm{y})=1 +x . Calcule a massa total \mathrm{M}=\iint \_\mathrm{D} \delta \mathrm{dA}.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina plana com região
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le2\}
e densidade superficial
\delta(x,y)=1+x.
O conteúdo necessário é cálculo de integral dupla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para montar a integral, note que, para cada x entre 0 e 2, y varia de 0 até 2-x. Assim
M=\iint_{D}\delta(x,y)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{2-x}(1+x)\,dy\,dx.

Passo 3

Como 1+x não depende de y, a integral interna é
\int_{y=0}^{2-x}(1+x)\,dy =(1+x)\,(2-x).
Logo
M=\int_{0}^{2}(1+x)(2-x)\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+x)(2-x)=2 + x - x^2.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}(2 + x - x^2)\,dx =\Bigl[2x + \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(4 + 2 - \tfrac{8}{3}\bigr)-0 =6 - \tfrac{8}{3} =\tfrac{10}{3}.

Resposta

\displaystyle M=\frac{10}{3}.

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