Calcule \iint \_D\left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2\right) d A, onde D é o disco x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2 \leq a^{\wedge} 2. Use x=r \cos \theta, y=r \sin \theta.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\iint_D (x^2+y^2)\,dA
onde D é o disco x^2+y^2\le a^2. O conteúdo principal é a troca para coordenadas polares, usando \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\; e o jacobiano dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares vale \;x^2+y^2=r^2; e \;dA=r\,dr\,d\theta;,
logo o integrando com o jacobiano fica r^2\cdot r=r^3. Assim,
\iint_D (x^2+y^2)\,dA =\iint_{D_\text{polar}} r^3\,dr\,d\theta.

Passo 3

O domínio polar do disco é
0\le r\le a, \quad 0\le\theta\le2\pi.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^3\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{a} r^3\,dr =\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{a} =\frac{a^4}{4}.

Passo 5

Em seguida, a integral em \theta vale
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando os resultados, obtemos
\iint_D (x^2+y^2)\,dA =2\pi\cdot\frac{a^4}{4} =\frac{\pi a^4}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi a^4}{2}

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