Seja \mathrm{D}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): 0 \leq \mathrm{x} \leq 1, \mathrm{x}^{\wedge} 2 \leq \mathrm{y} \leq \mathrm{x}\right\}. Calcule \iint_{-} \mathrm{D}(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}) \mathrm{dA}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{D}(x+2y)\,dA
no domínio
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\; x^2 \le y \le x\}.
O conteúdo é integração dupla sobre uma região do plano, e vamos usar a integração iterada com ordem dy\,dx.

Passo 2

Como para cada x\in[0,1] o y varia de y=x^2 até y=x, podemos escrever
\iint_{D}(x+2y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=x^2}^{x}(x+2y)\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^2}^{x}(x+2y)\,dy = \Bigl[x\,y + y^2\Bigr]_{y=x^2}^{y=x} = \bigl(x\cdot x + x^2\bigr) - \bigl(x\cdot x^2 + (x^2)^2\bigr) = 2x^2 - x^3 - x^4.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3 - x^4)\,dx = \left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{13}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{60}

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