BIostre que
para
e explique por simetria.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre o quadrado
com
, e mostrar que o resultado é zero usando simetria. O conteúdo envolvido é integral dupla de funções de duas variáveis e a propriedade de simetria de regiões centradas na origem.
Passo 2
Usamos a linearidade da integral dupla para separar
Passo 3
Para
, escrevemos em iterada:
Dentro,
Logo
.
Passo 4
De modo análogo,
e
logo
.
Passo 5
Juntando os resultados:
A razão é que tanto
quanto
são funções ímpares em um intervalo simétrico
, fazendo cada uma das integrais se anular.