BIostre que \iint \_\mathrm{R}(\mathrm{x}-\mathrm{y}) \mathrm{dA}=0 para \mathrm{R}=[-\mathrm{c}, \mathrm{c}] \times[-\mathrm{c}, \mathrm{c}](\mathrm{c}>0) e explique por simetria.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(x - y)\,dA
sobre o quadrado R = [-c,c]\times[-c,c] com c>0, e mostrar que o resultado é zero usando simetria. O conteúdo envolvido é integral dupla de funções de duas variáveis e a propriedade de simetria de regiões centradas na origem.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral dupla para separar
\iint_{R}(x - y)\,dA =\iint_{R}x\,dA \;-\;\iint_{R}y\,dA.

Passo 3

Para \displaystyle \iint_{R}x\,dA, escrevemos em iterada:
\iint_{R}x\,dA =\int_{y=-c}^{c}\!\Bigl(\int_{x=-c}^{c}x\,dx\Bigr)\,dy.
Dentro,
\int_{x=-c}^{c}x\,dx =\Bigl[\tfrac12x^2\Bigr]_{-c}^{c} =\tfrac12(c^2 - c^2) =0.
Logo \iint_{R}x\,dA=0.

Passo 4

De modo análogo,
\iint_{R}y\,dA =\int_{x=-c}^{c}\!\Bigl(\int_{y=-c}^{c}y\,dy\Bigr)\,dx
e
\int_{y=-c}^{c}y\,dy =\Bigl[\tfrac12y^2\Bigr]_{-c}^{c} =0,
logo \iint_{R}y\,dA=0.

Passo 5

Juntando os resultados:
\iint_{R}(x - y)\,dA =0 - 0 =0.
A razão é que tanto x quanto y são funções ímpares em um intervalo simétrico [-c,c], fazendo cada uma das integrais se anular.

Resposta

0

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