Uma abelha move-se de acordo com a equação
. Determine (a) a posição inicial, velocidade inicial e aceleração; (b) a função da velocidade em relação ao tempo; © o gráfico da velocidade em função do tempo entre
e
; (d) o tempo e a velocidade em que a abelha está em
m ; (e) a velocidade e a posição em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento da abelha juntos! A gente tem a equação da posição da abelha em função do tempo: $ x(t) = 10 + t + 0,25 t^{2} $. Vamos usar conceitos de cinemática, como derivadas para achar velocidade e aceleração. Precisaremos calcular derivadas da função posição para encontrar as outras informações pedidas.
Passo 2
Parte (a): Posição inicial, velocidade inicial e aceleração
-
Posição inicial: É a posição da abelha quando $ t = 0 $. Basta substituir:
-
Velocidade inicial: Primeiro achamos a função velocidade derivando $ x(t) $:Então, a velocidade inicial é $ v(0) = 1 + 0,5 \times 0 = 1 , m/s $.
-
Aceleração: Derivamos a função velocidade para encontrar a aceleração:A aceleração é constante e igual a $ 0,5 , m/s^{2} $.
Passo 3
Parte (b): Função da velocidade em relação ao tempo
Já encontramos a função velocidade no passo anterior:
Essa é a expressão que relaciona a velocidade da abelha com o tempo.
Passo 4
Parte ©: Gráfico da velocidade em função do tempo entre $ t = 0 , s $ e $ t = 5 , s $
Embora não possamos desenhar o gráfico aqui, podemos descrever como ele seria:
- A função $ v(t) = 1 + 0,5 t $ é uma reta crescente.
- No $ t = 0 $, $ v = 1 , m/s $.
- No $ t = 5 $, $ v = 1 + 0,5 \times 5 = 3,5 , m/s $.
- Então, o gráfico começa em (0,1) e vai até (5,3.5), com uma inclinação positiva.
Passo 5
Parte (d): Tempo e velocidade quando $ x = 27,5 , m $
Vamos resolver $ x(t) = 27,5 $:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática:
Consideramos apenas a solução positiva:
Agora, calculamos a velocidade nesse tempo:
Passo 6
Parte (e): Velocidade e posição em $ t = 3 , s $
-
Velocidade:
-
Posição:
Resposta
(a) Posição inicial: $ 10 , m $; Velocidade inicial: $ 1 , m/s $; Aceleração: $ 0,5 , m/s^{2} $.
(b) Função da velocidade: $ v(t) = 1 + 0,5 t $.
© O gráfico da velocidade é uma reta crescente que vai de $ v = 1 , m/s $ em $ t = 0 , s $ até $ v = 3,5 , m/s $ em $ t = 5 , s $.
(d) A abelha está em $ x = 27,5 , m $ no tempo $ t \approx 6,6 , s $ com velocidade $ v \approx 4,3 , m/s $.
(e) Em $ t = 3 , s $, a velocidade é $ 2,5 , m/s $ e a posição é $ 15,25 , m $.