Uma abelha move-se de acordo com a equação x(t)=10+t+0,25 t^2. Determine (a) a posição inicial, velocidade inicial e aceleração; (b) a função da velocidade em relação ao tempo; © o gráfico da velocidade em função do tempo entre t=0 s e t=5 s; (d) o tempo e a velocidade em que a abelha está em x=27,5 m ; (e) a velocidade e a posição em t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento da abelha juntos! A gente tem a equação da posição da abelha em função do tempo: $ x(t) = 10 + t + 0,25 t^{2} $. Vamos usar conceitos de cinemática, como derivadas para achar velocidade e aceleração. Precisaremos calcular derivadas da função posição para encontrar as outras informações pedidas.

Passo 2

Parte (a): Posição inicial, velocidade inicial e aceleração
  • Posição inicial: É a posição da abelha quando $ t = 0 $. Basta substituir:
    t = 0
  • Velocidade inicial: Primeiro achamos a função velocidade derivando $ x(t) $:
    x(0) = 10 + 0 + 0,25 times 0^2 = 10 , m
    Então, a velocidade inicial é $ v(0) = 1 + 0,5 \times 0 = 1 , m/s $.
  • Aceleração: Derivamos a função velocidade para encontrar a aceleração:
    x(t)
    A aceleração é constante e igual a $ 0,5 , m/s^{2} $.

Passo 3

Parte (b): Função da velocidade em relação ao tempo
Já encontramos a função velocidade no passo anterior:
v(t) = 1 + 0,5 t
Essa é a expressão que relaciona a velocidade da abelha com o tempo.

Passo 4

Parte ©: Gráfico da velocidade em função do tempo entre $ t = 0 , s $ e $ t = 5 , s $
Embora não possamos desenhar o gráfico aqui, podemos descrever como ele seria:
  • A função $ v(t) = 1 + 0,5 t $ é uma reta crescente.
  • No $ t = 0 $, $ v = 1 , m/s $.
  • No $ t = 5 $, $ v = 1 + 0,5 \times 5 = 3,5 , m/s $.
  • Então, o gráfico começa em (0,1) e vai até (5,3.5), com uma inclinação positiva.

Passo 5

Parte (d): Tempo e velocidade quando $ x = 27,5 , m $
Vamos resolver $ x(t) = 27,5 $:
x = 27,5 , m
x(t) = 27,5
10 + t + 0,25 t^2 = 27,5
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
0,25 t^2 + t + 10 - 27,5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
0,25 t^2 + t - 17,5 = 0
Consideramos apenas a solução positiva:
t^2 + 4t - 70 = 0
Agora, calculamos a velocidade nesse tempo:
t = -4 pm raiz16 + 2802 = -4 pm raiz2962 approx -4 pm 17,22

Passo 6

Parte (e): Velocidade e posição em $ t = 3 , s $
  • Velocidade:
    t = 3 , s
  • Posição:
    v(3) = 1 + 0,5 times 3 = 2,5 , m/s

Resposta

(a) Posição inicial: $ 10 , m $; Velocidade inicial: $ 1 , m/s $; Aceleração: $ 0,5 , m/s^{2} $.
(b) Função da velocidade: $ v(t) = 1 + 0,5 t $.
© O gráfico da velocidade é uma reta crescente que vai de $ v = 1 , m/s $ em $ t = 0 , s $ até $ v = 3,5 , m/s $ em $ t = 5 , s $.
(d) A abelha está em $ x = 27,5 , m $ no tempo $ t \approx 6,6 , s $ com velocidade $ v \approx 4,3 , m/s $.
(e) Em $ t = 3 , s $, a velocidade é $ 2,5 , m/s $ e a posição é $ 15,25 , m $.

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