Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
\left\{1+1 / 4+1 / 9+\cdots+1 / n^{2} \mid n \in \mathbb{N}\right\}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \bigl\{\,s_n = 1 + \tfrac14 + \tfrac1{9} + \cdots + \tfrac1{n^2}\mid n\in\mathbb{N}\bigr\}
no espaço \mathbb{R}. Queremos verificar se S é aberto, fechado ou nenhum dos dois.
Um conjunto é aberto se todo ponto é interior (isto é, tem um intervalo em S ao seu redor).
Um conjunto é fechado se contém todas as suas paredes, isto é, todos os seus pontos aderentes.

Passo 2

Mostramos que S não é aberto, pois não há ponto interior.
Sejam s_n\in S e qualquer r>0. O intervalo \bigl(s_n - r,\,s_n + r\bigr) contém muitos reais que não pertencem a S (por exemplo irracionais ou mesmo racionais que não são somas de inversos de quadrados até n). Logo nenhum s_n é ponto interior e \mathrm{int}(S)=\varnothing. Assim, S não é aberto.
Um exemplo concreto de ponto não interior é
s_1 = 1.

Passo 3

Mostramos que S não é fechado, pois falta um ponto aderente.
A sequência (s_n) é crescente e limitada superiormente por
\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.
Logo \lim_{n\to\infty}s_n = L = \pi^2/6. Para todo \varepsilon>0 existe N tal que \lvert s_N - L\rvert<\varepsilon, o que diz que L é ponto aderente de S. Mas L não pertence a S, pois nenhum s_n atinge esse valor infinito. Logo S não contém todas as suas paredes e não é fechado.
Um exemplo de ponto aderente ausente em S é
L = \frac{\pi^2}{6}.

Resposta

S não é aberto (por exemplo s_1=1 não é ponto interior) e S não é fechado (o ponto aderente \pi^2/6 não pertence a S).

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