Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
no espaço
. Queremos verificar se
é aberto, fechado ou nenhum dos dois.
Um conjunto é aberto se todo ponto é interior (isto é, tem um intervalo em ao seu redor).
Um conjunto é fechado se contém todas as suas paredes, isto é, todos os seus pontos aderentes.
Um conjunto é aberto se todo ponto é interior (isto é, tem um intervalo em
Um conjunto é fechado se contém todas as suas paredes, isto é, todos os seus pontos aderentes.
Passo 2
Mostramos que
não é aberto, pois não há ponto interior.
Sejam e qualquer
. O intervalo
contém muitos reais que não pertencem a
(por exemplo irracionais ou mesmo racionais que não são somas de inversos de quadrados até
). Logo nenhum
é ponto interior e
. Assim,
não é aberto.
Um exemplo concreto de ponto não interior é
Sejam
Um exemplo concreto de ponto não interior é
Passo 3
Mostramos que
não é fechado, pois falta um ponto aderente.
A sequência é crescente e limitada superiormente por
A sequência
Logo
. Para todo
existe
tal que
, o que diz que
é ponto aderente de
. Mas
não pertence a
, pois nenhum
atinge esse valor infinito. Logo
não contém todas as suas paredes e não é fechado.
Um exemplo de ponto aderente ausente em é
Um exemplo de ponto aderente ausente em