Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar o conjunto
e decidir se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é topologia na reta real, usando as definições de conjunto aberto (todo ponto é interior) e conjunto fechado (complemento aberto ou, equivalentemente, fechamento igual ao próprio conjunto).
e decidir se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é topologia na reta real, usando as definições de conjunto aberto (todo ponto é interior) e conjunto fechado (complemento aberto ou, equivalentemente, fechamento igual ao próprio conjunto).
Passo 2
Para mostrar que
é aberto, escolhemos um ponto arbitrário
. Como
, defina
Então o intervalo aberto
não contém
e está inteiramente em
. Assim todo
é ponto interior, logo o conjunto é aberto.
Passo 3
Para ver que o conjunto não é fechado, observamos que seu fecho é
. De fato, qualquer vizinhança de
intercepta
, ou seja,
é ponto aderente. Como
não pertence ao conjunto, ele difere de seu fecho e, portanto, não é fechado.
Resposta
O conjunto
é aberto e não é fechado.
Um ponto aderente que não pertence ao conjunto é .
Um ponto aderente que não pertence ao conjunto é