Para cada um dos conjuntos a seguir, diga se é fechado, aberto ou nenhum dos dois. Se o conjunto não for aberto, encontre um ponto que não é ponto interior do conjunto. Se o conjunto não for fechado, encontre um ponto aderente que não pertence ao conjunto.
\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar o conjunto
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\}
e decidir se ele é aberto, fechado ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é topologia na reta real, usando as definições de conjunto aberto (todo ponto é interior) e conjunto fechado (complemento aberto ou, equivalentemente, fechamento igual ao próprio conjunto).

Passo 2

Para mostrar que \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\} é aberto, escolhemos um ponto arbitrário a\neq0. Como |a|>0, defina
\delta = \frac{|a|}{2}.
Então o intervalo aberto (a-\delta,\;a+\delta) não contém 0 e está inteiramente em \{x\mid x\neq0\}. Assim todo a\neq0 é ponto interior, logo o conjunto é aberto.

Passo 3

Para ver que o conjunto não é fechado, observamos que seu fecho é \mathbb{R}. De fato, qualquer vizinhança de 0 intercepta \{x\mid x\neq0\}, ou seja, 0 é ponto aderente. Como 0 não pertence ao conjunto, ele difere de seu fecho e, portanto, não é fechado.

Resposta

O conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\} é aberto e não é fechado.
Um ponto aderente que não pertence ao conjunto é 0.

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