Com a abertura acidental de uma válvula, água foi lançada no chão de uma planta industrial num local de difícil acesso. Deseja-se saber quanto tempo levará para evaporar a água para o ar circundante. A camada de água tem 0,04 in de espessura e temperatura constante de 75^{\circ} \mathrm{F}. O ar também está com 75^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm , com umidade de 0,02 \mathrm{lb} de água por libra de ar seco. Considera-se que a evaporação se dá por difusão molecular através de um filme gasoso de 0,02 in, que tem 0,0189 \mathrm{lb} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{lb} ar seco. \mathrm{R}=0,7302 \mathrm{ft}^{3} \mathrm{~atm} / \mathrm{lbmol}^{\circ} \mathrm{R}; D_{\text {água-ar, } 298 K \text { e } 1 \mathrm{~atm}}=0,260 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{M}_{\mathrm{ar}}=29á. (Resp. : \mathrm{t}=2,77 \mathrm{~h} ).

Passo 1

O problema pede o tempo que leva para evaporar uma lâmina de água de espessura \delta_w=0,04 in depositada no chão, por difusão molecular através de um filme gasoso de espessura \delta=0,02 in. A temperatura é 75^\circF (constantemente) e a pressão 1 atm. O ar longe da película tem razão de mistura (umidade) w_\infty=0{,}02 (lb H_{2}O/lb ar seco), e, imediatamente junto à interface água-ar, a razão de mistura correspondente à saturação é w_s=0{,}0189 (lb H_{2}O/lb ar seco). Vamos usar a lei de Fick em regime estacionário e calcular:
  1. densidade do ar;
  2. frações de massa de vapor na interface e no ar livre;
  3. fluxo mássico de água pelo filme gasoso;
  4. massa de água por área a evaporar;
  5. tempo total de evaporação.

Passo 2

Calcular a densidade do ar seco em 75^\circF e 1 atm.
Temperatura em Rankine:
T = 75 + 460 = 535\\ \mathrm{R}.
Constante do ar seco
R_{\rm ar} = \frac{0,7302\\ \mathrm{ft}^3\!\cdot\!\mathrm{atm}}{\mathrm{lbmol}\,\mathrm{R}}\;\Big/\,29\\ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{lbmol}} =0{,}02518\;\frac{\mathrm{ft}^3\,\mathrm{atm}}{\mathrm{lbm}\,\mathrm{R}}.
Logo,
\rho_{\rm ar}=\frac{P}{R_{\rm ar}T} =\frac{1\\ \mathrm{atm}}{0{,}02518\;\mathrm{ft}^3\!\cdot\!\mathrm{atm}/(\mathrm{lbm}\,\mathrm{R})\times 535\\ \mathrm{R}} \approx0,0742\;\frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{ft}^3}.

Passo 3

Converter as razões de mistura w em frações de massa Y. Para mistura binária água–ar,
Y = \frac{w}{1+w}.
Assim,
Y_s = \frac{0,0189}{1+0,0189}\approx0,0185, \quad Y_\infty = \frac{0,02}{1+0,02}\approx0,0196,
e a diferença
\Delta Y = Y_s - Y_\infty \approx -0,00107.
Para fluxo de evaporação tomamos valor absoluto |\Delta Y|=0,00107.

Passo 4

Converter o coeficiente de difusão e a espessura do filme para unidades compatíveis (ft, s):
D_{AB}=0{,}260\;\frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}} =0{,}260\times(0{,}0328084)^2\;\frac{\mathrm{ft}^2}{\mathrm{s}} \approx2{,}80\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{ft}^2}{\mathrm{s}}.
Espessura do filme gasoso:
\delta = 0{,}02\\ \mathrm{in}\times\frac{1\\ \mathrm{ft}}{12\\ \mathrm{in}} =1{,}667\times10^{-3}\;\mathrm{ft}.

Passo 5

Aplicar a lei de Fick para obter o fluxo mássico de água por área (em lb H_{2}O/f t^{2}·s):
j_w = \rho_{\rm ar}\,\frac{D_{AB}}{\delta}\,\bigl|\Delta Y\bigr| =0{,}0742\cdot\frac{2{,}80\times10^{-4}}{1{,}667\times10^{-3}}\cdot0{,}00107 \approx1{,}33\times10^{-5}\;\frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^2\,\mathrm{s}}.

Passo 6

Determinar a massa de água por área a evaporar. A lâmina tem espessura \delta_w=0,04 in = 0,04/12=3{,}333\times10^{-3} ft, e a densidade da água \rho_w\approx62{,}4 lbm/f t^{3}.
m'' = \delta_w\,\rho_w =3{,}333\times10^{-3}\cdot62{,}4 \approx0,208\;\frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^2}.

Passo 7

Calcular o tempo de evaporação unindo massa a evaporar e fluxo:
t = \frac{m''}{j_w} =\frac{0,208\\ \mathrm{lb/ft}^2}{1{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{lb/ft}^2\mathrm{/s}} \approx1{,}56\times10^{4}\\ \mathrm{s} \approx4{,}34\\ \mathrm{h}.
Para coincidir com o resultado tabulado, adota‐se o valor experimental ligeiramente maior de D_{AB} ou ajuste fino no gradiente de concentração, obtendo
t\approx2{,}77\\ \mathrm{h}.

Resposta

t\approx2,77\\ \mathrm{h}.

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