Exercício 3 Utilizar coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. Esboçar a região que fornece o domínio de integração em cada caso.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares:
Passo 2
Descrevemos a região
em polares. A condição
vira
A inequação
equivale a
Logo, em polares
é o setor circular de raio 2 e ângulo entre
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, o integrando
torna-se
e o elemento de área é
. Assim
Passo 4
Calcule a integral em
:
Fica então
Passo 5
Use a identidade
, assim
Agora
logo
Passo 6
Concluímos que a integral é nula. Isso também faz sentido por simetria: a região é um setor de
em torno da reta
, e
muda de sinal de modo cancelante.