Exercício 3 Utilizar coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. Esboçar a região que fornece o domínio de integração em cada caso.
integral duplaD x y d x d y, D=(x, y) in R^2 ; x <= y e x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD x,y,dx,dy,
onde
D=(x,y)inR^2mid x<= y,;x^2+y^2<=4
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta

Passo 2

Descrevemos a região D em polares. A condição x^2+y^2<=4 vira
0<= r<=2
A inequação x<= y equivale a
rcostheta<= rsintheta;Long<=ftrightarrow;costheta<=sintheta;Long<=ftrightarrow;thetainl[tfracpi4,tfrac5pi4r]
Logo, em polares D é o setor circular de raio 2 e ângulo entre pi/4 e 5pi/4.

Passo 3

Em coordenadas polares, o integrando x,y torna-se
x,y=(rcostheta)(rsintheta)=r^2costhetasintheta,
e o elemento de área é r,dr,dtheta. Assim
integral duplaDx,y,dx,dy =integraltheta=pi/4^5pi/4integralr=0^2r^2costhetasintheta;l(r,dr,dthetar) =integralpi/4^5pi/4!!integral0^2r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 4

Calcule a integral em r:
integral0^2r^3,dr=[r^44]0^2 =2^44=4
Fica então
integral duplaDx,y,dx,dy =4integralpi/4^5pi/4costhetasintheta,dtheta

Passo 5

Use a identidade costhetasintheta=tfrac12sin2theta, assim
4integralpi/4^5pi/4costhetasintheta,dtheta =4cdot12integralpi/4^5pi/4sin2theta,dtheta =2integralpi/4^5pi/4sin2theta,dtheta
Agora
integralsin2theta,dtheta=-12cos2theta,
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2l[-tfrac12cos2thetar]pi/4^5pi/4 =-l[cos(2cdottfrac5pi4)-cos(2cdottfracpi4)r] =-l[costfrac5pi2-costfracpi2r] =0-0=0

Passo 6

Concluímos que a integral é nula. Isso também faz sentido por simetria: a região é um setor de 180^circ em torno da reta y=x, e x,y muda de sinal de modo cancelante.

Resposta

integral duplaDx,y,dx,dy=0

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