Absorção da Luz: A luz vermelha se atenua na água segundo
\frac{d E}{d s}=-\alpha E, \quad \alpha=0,5 \mathrm{~m}^{-1}
Determine a distância que a luz percorre até que 90 \% da energia seja absorvida.

Passo 1

O enunciado descreve o decaimento da energia luminosa E na água segundo a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dE}{ds} = -\alpha E,
com \alpha = 0,5\\ \mathrm{m}^{-1}. O conteúdo é equações diferenciais separáveis e decaimento exponencial. Para resolver, vamos separar variáveis, integrar e aplicar a condição de que restam 10\% de E_0.

Passo 2

Separamos variáveis na equação
\frac{dE}{ds} = -\alpha E
escrevendo
\frac{dE}{E} = -\alpha\,ds
e então integramos ambos os lados.

Passo 3

Ao integrar de E_0 até E(s) e de 0 até s, obtemos
\int_{E_0}^{E(s)}\frac{dE'}{E'} = -\alpha\int_{0}^{s}ds' \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(\tfrac{E(s)}{E_0}\bigr) = -\alpha s.
Exponenciando, vem
E(s) = E_0\,e^{-\alpha s}.

Passo 4

Queremos que 90\% da energia seja absorvida, ou seja, que reste 10\% de E_0:
\frac{E(s)}{E_0} = 0{,}1 = e^{-\alpha s}.
Tomando logaritmo natural,
-\alpha s = \ln(0{,}1) = -\ln(10) \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{\ln(10)}{\alpha}.

Passo 5

Substituindo \alpha=0{,}5\\ \mathrm{m}^{-1},
s = \frac{\ln(10)}{0{,}5} \approx \frac{2,3026}{0{,}5} = 4{,}6052\\ \mathrm{m}.

Resposta

A luz percorre aproximadamente 4{,}6\\ \mathrm{m} até que 90\% da energia seja absorvida.

Exercícios relacionados