Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada e analise o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}-\frac{y}{t}=t^{3}, >0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - \frac{1}{t}y = t^{3},\quad t>0,
e estudar o comportamento de suas soluções quando t\to\infty.
Como é uma equação da forma y'+p(t)y=q(t), vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int -\frac{1}{t}\,dt\Bigr) =\exp(-\ln t) =t^{-1}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t)=t^{-1} obtemos
t^{-1}y' - t^{-2}y = t^{-1}\,t^3 = t^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,t^{-1}\bigr)=t^2.

Passo 4

Integramos em relação a t:
y\,t^{-1}=\int t^2\,dt = \frac{t^3}{3} + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
y = t\Bigl(\frac{t^3}{3}+C\Bigr) =\frac{t^4}{3}+Ct.

Passo 5

Para t\to\infty, o termo dominante em \displaystyle y=\frac{t^4}{3}+Ct
é \tfrac{t^4}{3}, de modo que todas as soluções crescem sem limite, isto é, \displaystyle y\to +\infty quando t\to\infty.

Resposta

A solução geral é
y(t)=\frac{t^4}{3}+Ct,\quad C\in\mathbb{R},
e para t\to\infty temos y(t)\to+\infty.

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