Crescimento Populacional: Um certo tipo de bactéria cresce de acordo com a equação logística:
\frac{d P}{d t}=0,6 P\left(1-\frac{P}{500}\right), \quad P(0)=50
Determine P(t) e o tempo necessário para que a população atinja 250 indivíduos.

Passo 1

O enunciado dá a equação logística \dfrac{dP}{dt}=0,6\,P\bigl(1-\tfrac{P}{500}\bigr)
com condição inicial P(0)=50.
Vamos usar separação de variáveis e frações parciais para integrar essa EDO e obter P(t).

Passo 2

Separamos variáveis e escrevemos a integral:
\int \frac{dP}{P\bigl(1-\tfrac{P}{500}\bigr)} \;=\;\int 0,6\,dt.
Note que
\frac{1}{P\bigl(1-\tfrac{P}{500}\bigr)} =\frac{500}{P(500-P)} =\frac{1}{P}+\frac{1}{500-P}.
Integrando ambos os lados,
\int\!\Bigl(\frac{1}{P}+\frac{1}{500-P}\Bigr)dP =0,6\,t + C \quad\Longrightarrow\quad \ln|P|-\ln|500-P|=0,6\,t+C,
\ln\frac{P}{500-P}=0,6\,t+C.

Passo 3

Aplicando t=0 e P(0)=50:
\ln\frac{50}{500-50}=C \quad\Longrightarrow\quad C=\ln\frac{1}{9}=-\ln9.
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\ln\frac{P}{500-P}=0,6\,t-\ln9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{P}{500-P}=\frac{e^{0,6\,t}}{9}.
Resolvendo para P:
P(t) =\frac{500\,e^{0,6\,t}/9}{1+e^{0,6\,t}/9} =\frac{500}{1+9\,e^{-0,6\,t}}.

Passo 4

Para achar o tempo em que P(t)=250, colocamos na fórmula:
250=\frac{500}{1+9\,e^{-0,6\,t}} \;\Longrightarrow\; 1+9\,e^{-0,6\,t}=2 \;\Longrightarrow\; 9\,e^{-0,6\,t}=1 \;\Longrightarrow\; e^{-0,6\,t}=\tfrac{1}{9}
-0,6\,t=-\ln9 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln9}{0,6} =\frac{2\ln3}{0,6}\approx3,66.

Resposta

P(t)=\displaystyle \frac{500}{1+9\,e^{-0,6\,t}}
Tempo para P=250: t\approx3,66.

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