Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada e analise o comportamento das soluções quando
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
e depois analisar o que acontece com as soluções quando
.
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante, que transforma essa ODE num formato que podemos integrar diretamente.
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante, que transforma essa ODE num formato que podemos integrar diretamente.
Passo 2
Calcular o fator integrante
. Por definição,
Passo 3
Multiplicar toda a equação original por
. Isso dá
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
O lado direito simplifica para
.
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolar
em função de
:
Essa é a solução geral da equação.
Passo 6
Analisar o comportamento quando
:
- O termo
tende a zero. - O termo
também tende a zero, para qualquer constante .
Portanto,
Resposta
A solução geral é
e todas as soluções satisfazem