Encontre a solução geral de cada equação diferencial dada e analise o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
y^{\prime}+4 y=e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 4y = e^{-3t}
e depois analisar o que acontece com as soluções quando t \to \infty.
O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante, que transforma essa ODE num formato que podemos integrar diretamente.

Passo 2

Calcular o fator integrante \mu(t). Por definição,
\mu(t) = \exp\Bigl(\int 4 \,dt\Bigr) = \exp(4t) = e^{4t}.

Passo 3

Multiplicar toda a equação original por \mu(t)=e^{4t}. Isso dá
e^{4t}y' + 4e^{4t}y = e^{4t} e^{-3t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{4t}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(e^{4t}y\bigr) = e^{4t}y' + 4e^{4t}y.
O lado direito simplifica para e^{4t-3t}=e^{t}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{4t}y\bigr) = e^{t} \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{d}{dt}\bigl(e^{4t}y\bigr)\,dt = \int e^{t}\,dt
e^{4t}y = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y em função de t:
y(t) = e^{-4t}\bigl(e^{t} + C\bigr) = e^{-3t} + C\,e^{-4t}.
Essa é a solução geral da equação.

Passo 6

Analisar o comportamento quando t \to \infty:
  • O termo e^{-3t} tende a zero.
  • O termo C\,e^{-4t} também tende a zero, para qualquer constante C.
    Portanto,
\lim_{t\to\infty}y(t) = 0.

Resposta

A solução geral é
y(t) = e^{-3t} + C\,e^{-4t},
e todas as soluções satisfazem
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.

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