(Abstrato) Se
e
são operadores lineares, mostre que
e
também são operadores lineares.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial
(isto é,
) e pede para mostrar que (i) a soma
e (ii) a composição
também são lineares. Para isso vamos usar a definição: um operador
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
Passo 2
Verificamos que
é linear, mostrando aditividade e homogeneidade:
- (Aditividade) Para quaisquer
,
pela linearidade de
e
é
- (Homogeneidade) Para todo escalar
e todo ,
pela linearidade de
e
é
Portanto
satisfaz as duas propriedades de linearidade.
Passo 3
Verificamos que a composição
é linear:
- (Aditividade) Para quaisquer
,
Como
é linear,
, logo
- (Homogeneidade) Para todo escalar
e todo ,
Como
é linear,
, daí
Logo
também preserva soma e produto por escalar.
Resposta
Tanto
quanto
são operadores lineares.