(Abstrato) Se S e T são operadores lineares, mostre que S+T e S T também são operadores lineares.

Passo 1

O enunciado diz que S e T são operadores lineares sobre um mesmo espaço vetorial V (isto é, S,T:Vto V) e pede para mostrar que (i) a soma S+T e (ii) a composição S T também são lineares. Para isso vamos usar a definição: um operador L:Vto V é linear se, para todo u,vin V e todo escalar alpha, valem
L(u+v)=L(u)+L(v),
L(alpha u)=alpha,L(u)

Passo 2

Verificamos que S+T é linear, mostrando aditividade e homogeneidade:
  1. (Aditividade) Para quaisquer u,vin V,
(S+T)(u+v)=S(u+v)+T(u+v)
pela linearidade de S e T é
= l(S(u)+S(v)r) + l(T(u)+T(v)r) = l(S(u)+T(u)r) + l(S(v)+T(v)r) = (S+T)(u) + (S+T)(v)
  1. (Homogeneidade) Para todo escalar alpha e todo uin V,
(S+T)(alpha u)=S(alpha u)+T(alpha u)
pela linearidade de S e T é
= alpha,S(u) + alpha,T(u) = alphal(S(u)+T(u)r) = alpha,(S+T)(u)
Portanto S+T satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Passo 3

Verificamos que a composição S T é linear:
  1. (Aditividade) Para quaisquer u,vin V,
(ST)(u+v)=Sl(T(u+v)r)
Como T é linear, T(u+v)=T(u)+T(v), logo
= Sl(T(u)+T(v)r) = Sl(T(u)r) + Sl(T(v)r) = (ST)(u) + (ST)(v)
  1. (Homogeneidade) Para todo escalar alpha e todo uin V,
(ST)(alpha u)=Sl(T(alpha u)r)
Como T é linear, T(alpha u)=alpha,T(u), daí
= Sl(alpha,T(u)r) = alpha,Sl(T(u)r) = alpha,(ST)(u)
Logo ST também preserva soma e produto por escalar.

Resposta

Tanto S+T quanto ST são operadores lineares.

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