Verifique se as seguintes transformações são lineares ou não! Justifique!
T: P2 P3 onde T(a x^2+b x+c)=a x^3+b x^2+c x

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação
,T: P2to P3,
definida por
Tl(a x^2+b x+cr)=a x^3+b x^2+c x
O conteúdo aqui é teoria de transformação linear em espaços de polinômios: precisamos usar a definição de linearidade, que exige verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição: uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores (aqui, polinômios) p,q e escalar alpha, valem
T(p+q)=T(p)+T(q) e T(alpha p)=alpha,T(p)

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja
p(x)=a x^2+b x+c, q(x)=d x^2+e x+f
Então
p(x)+q(x)=(a+d)x^2+(b+e)x+(c+f),
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Tl(p+qr) =Tl((a+d)x^2+(b+e)x+(c+f)r) =(a+d)x^3+(b+e)x^2+(c+f)x
Por outro lado,
T(p)+T(q) =l(a x^3+b x^2+c xr) +l(d x^3+e x^2+f xr) =(a+d)x^3+(b+e)x^2+(c+f)x
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T(p+q)=T(p)+T(q)

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja alpha um escalar. Então
alpha,p(x)=alpha a,x^2+alpha b,x+alpha c
e
Tl(alpha pr) =Tl(alpha a,x^2+alpha b,x+alpha cr) =(alpha a)x^3+(alpha b)x^2+(alpha c)x =alphal(a x^3+b x^2+c xr) =alpha,T(p)

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) estão satisfeitas, T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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