Seja x^2x+(y-2)^216=1. Descreva a cônica, identifique os elementos e faça o gráfico

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2x + (y-2)^216 = 1
e pede para descrever a cônica, identificar seus elementos (vértice, foco, diretriz, eixo etc.) e esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é classificação de cônicas, simplificação e passagem para a forma canônica de uma parábola.

Passo 2

Simplificamos x^2x para x (válido para xneq0), de modo que a equação fica
x + (y-2)^216 = 1
Isolando x, obtemos
x = 1 - (y-2)^216
que é equivalente a
x - 1 = -116(y-2)^2
Esse é o formato geral de uma parábola com eixo horizontal.

Passo 3

A forma padrão da parábola de eixo paralelo ao eixo x é
x - h = 14p(y - k)^2,
onde (h,k) é o vértice e p é a distância focal (positiva à direita, negativa à esquerda). Comparando
x - 1 = -116(y-2)^2
com
x - h = 14p(y - k)^2
vemos que h=1, k=2 e
14p = -116 Longrightarrow 4p = -16 Longrightarrow p = -4
O sinal de p negativo indica que a parábola abre para a esquerda.

Passo 4

Com base em h=1, k=2 e p=-4, temos:
Vértice: (h,k) = (1,2) é
Foco: (h+p,k) = (1-4,,2) = (-3,2)
Diretriz: x = h - p = 1 - (-4) = 5
Eixo de simetria: y = k = 2
Latus rectum: comprimento = |4p| = 16,
com extremos em
l(h+p,,kpm2pr) = (-3,,2pm8), ou seja (-3,10) e (-3,-6).

Passo 5

Esboço do gráfico (eixo horizontal, vertical):
   y
   ^
 \(10\)|      *       <-- (-\(3,10\)) (extremo do latus rectum)
   |
  \(6\)|
   |
  \(2\)|----V\(==========\))\(====\)>     <-- V em (\(1,2\)) é o vértice; ) indica abertura à esquerda
   |
 -\(6\)|      *       <-- (-\(3\),-\(6\)) (outro extremo do latus rectum)
   \(+\)--------------------------------> x
     -\(5\) -\(315\)
A parábola está centrada em , abre para a esquerda, com foco em e diretriz .

Resposta

A curva é uma parábola de eixo horizontal abrindo para a esquerda, com vértice em (1,2), foco em (-3,2), diretriz x=5, eixo de simetria y=2 e latus rectum de comprimento 16.

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