Considere a transformação linear T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x-y).
Determine uma base da imagem de T;

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (x+y,;x-y)
e pede uma base da imagem de T. Aqui o conteúdo é imagem (ou coluna) de uma transformação linear, que podemos obter pelas colunas da matriz de T na base canônica.

Passo 2

Vamos ver o efeito de T nos vetores da base canônica (1,0),(0,1).
Para (1,0) temos
T(1,0) = (1+0,;1-0) = (1,1),
e para (0,1) temos
T(0,1) = (0+1,;0-1) = (1,-1)
Logo a matriz de T na base canônica tem colunas 11 e 1-1.

Passo 3

Para ver a dimensão da imagem, verificamos se os vetores
então
que implica (a=b=0]. Logo são independentes e geram um subespaço de dimensão 2.

Passo 4

Como dim(Im,T)=2 em R^2, a imagem é todo R^2 e uma base é exatamente
(1,1),;(1,-1)

Resposta

(1,1),,(1,-1) é uma base da imagem de T.

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