Verifique que o operador T de V é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando V for o plano.
f) Se T(x, y)=(2 x+4 y,-x-2 y).

Passo 1

O enunciado define o operador TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (2x + 4y,,-x - 2y)
Precisamos mostrar que T é linear, classificá-lo como reflexão, projeção ou nilpotente, identificar quais projeções ou reflexões são ortogonais e que compartilham a mesma decomposição e, finalmente, desenhar tudo no plano.

Passo 2

Verificação da linearidade. Sejam (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e lambdainR. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2)+4(y1+y2),,-(x1+x2)-2(y1+y2)r)
= (2x1+4y1,,-x1-2y1)+(2x2+4y2,,-x2-2y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2),
e
Tl(lambda(x,y)r) = T(lambda x,lambda y) = (2lambda x+4lambda y,,-lambda x-2lambda y) = lambda,(2x+4y,,-x-2y) = lambda,T(x,y)
Logo, T é linear.

Passo 3

Cálculo de T^2. Para (x,y)inR^2,
T(x,y) = (2x+4y,,-x-2y),
logo
T^2(x,y) = Tl(2x+4y,,-x-2yr) = l(2(2x+4y)+4(-x-2y),,-(2x+4y)-2(-x-2y)r)
No primeiro componente:
2(2x+4y)+4(-x-2y)=4x+8y-4x-8y=0
No segundo componente:
-(2x+4y)-2(-x-2y)=-2x-4y+2x+4y=0
Concluímos
T^2(x,y) = (0,0)forall,(x,y),
ou seja, T^2=0.

Passo 4

Como T^2=0 mas Tneq 0, T é um operador nilpotente de índice 2. Então não é reflexão (que satisfaz T^2=I) nem projeção (que satisfaz T^2=T).

Passo 5

Determinação de ker(T) e Im(T).
Para ker(T), resolvemos
T(x,y)=(0,0);Longrightarrow;2x+4y=0 ;Long<=ftrightarrow;x+2y=0
Logo
ker(T)=(x,y)mid x+2y=0=span(2,-1)
Para Im(T), observa-se
T(1,0)=(2,-1), T(0,1)=(4,-2)=2(2,-1),
portanto
Im(T)=span(2,-1)
Note que ker(T)=Im(T).

Passo 6

Como não há projeções nem reflexões neste caso, não existem projeções/reflexões ortogonais nem diferentes decomposições em soma direta associadas a T. O único subespaço invariante não trivial é a reta
L = span(2,-1),
que é simultaneamente imagem e núcleo de T.

Passo 7

Esboço geométrico em R^2:
– Desenhar a reta L passando pela origem com direção (2,-1) (inclinação -tfrac12).
– Todo vetor v é enviado por T para um ponto em L.
– Em seguida, T manda qualquer vetor de L para o zero.

Resposta

T é linear e satisfaz T^2=0, logo é nilpotente de ordem 2.
ker(T)=Im(T)=(x,y)mid x+2y=0.
Não há nem reflexão nem projeção, portanto não existem projeções/reflexões ortogonais nem outras decomposições em soma direta além da reta trivial L.

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