Verifique que o operador
de
é linear e decida se ele é reflexão, projeção ou nilpotente. Determine quais das projeções e reflexões são ortogonais e quais estão relacionadas à mesma decomposição em soma direta. Desenhe todos os objetos quando
for o plano.
f) Se
.
f) Se
Passo 1
O enunciado define o operador
por
Precisamos mostrar que
é linear, classificá-lo como reflexão, projeção ou nilpotente, identificar quais projeções ou reflexões são ortogonais e que compartilham a mesma decomposição e, finalmente, desenhar tudo no plano.
Passo 2
Verificação da linearidade. Sejam
e
. Então
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Cálculo de
. Para
,
logo
No primeiro componente:
No segundo componente:
Concluímos
ou seja,
.
Passo 4
Como
mas
,
é um operador nilpotente de índice 2. Então não é reflexão (que satisfaz
) nem projeção (que satisfaz
).
Passo 5
Determinação de
e
.
Para , resolvemos
Para
Logo
Para
, observa-se
portanto
Note que
.
Passo 6
Como não há projeções nem reflexões neste caso, não existem projeções/reflexões ortogonais nem diferentes decomposições em soma direta associadas a
. O único subespaço invariante não trivial é a reta
que é simultaneamente imagem e núcleo de
.
Passo 7
Esboço geométrico em
:
– Desenhar a reta passando pela origem com direção
(inclinação
).
– Todo vetor é enviado por
para um ponto em
.
– Em seguida, manda qualquer vetor de
para o zero.
– Desenhar a reta
– Todo vetor
– Em seguida,
Resposta
Não há nem reflexão nem projeção, portanto não existem projeções/reflexões ortogonais nem outras decomposições em soma direta além da reta trivial