Uma academia de cinema está organizando a premiação do Oscar e precisa escolher 4 finalistas para a categoria de Melhor Filme a partir de uma lista de 9 filmes indicados. Sabendo que a ordem dos finalistas não importa, de quantas maneiras os 4 finalistas podem ser escolhidos?
a) 84
b) 96
c) 112
d) 126
e) 144

Passo 1

O enunciado pede para escolher 4 finalistas entre 9 filmes sem se importar com a ordem. Esse é um problema de combinações, pois aqui só importam quais filmes são selecionados, não em que posição.

Passo 2

Na teoria de combinações, o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n elementos é dado por
\binom{n}{k} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Passo 3

Aqui temos n=9 filmes e queremos k=4 finalistas. Logo, aplicamos
\binom{9}{4} \;=\;\frac{9!}{4!\,5!}.

Passo 4

Para calcular \frac{9!}{4!\,5!} notamos que
9! = 9\times8\times7\times6\times5!
então
\binom{9}{4} = \frac{9\times8\times7\times6\times5!}{4!\times5!} = \frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}.
Calculando o produto e a divisão:
9\times8\times7\times6 = 3024, \quad 4\times3\times2\times1 = 24,
\binom{9}{4} = \frac{3024}{24} = 126.

Resposta

126 (alternativa d)

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