Considere os seguintes conjuntos:
  • Conjunto P: \{0,1\}
  • Conjunto Q: \{1,-1\}
  • Conjunto R: {2, 4, 8}
  • Conjunto S: {3, 6, 9}
  • Conjunto T: {5, 10, 15}
Um conjunto é dito fechado sob a multiplicação se, para quaisquer dois elementos z e y desse conjunto, o produto z x y também pertence ao conjunto.
Quais desses conjuntos são fechados sob a multiplicação?
a) Apenas \mathrm{P}, \mathrm{R} e T .
b) Apenas P, Q e R.
c) Apenas Q e S .
d) Apenas P e Q .
e) Todos são fechados.

Passo 1

O enunciado fornece cinco conjuntos e pede para identificar quais são fechados sob multiplicação, ou seja, em cada conjunto X, para quaisquer z,y\in X, o produto z\times y deve pertencer a X. Vamos verificar isso elemento a elemento em cada conjunto.

Passo 2

Analisando P = \{0,1\}:
- 0\times 0 = 0\in P
- 0\times 1 = 0\in P
- 1\times 1 = 1\in P
Logo, todo produto de elementos de P permanece em P. Assim, P é fechado.

Passo 3

Analisando Q = \{1,-1\}:
- 1\times 1 = 1\in Q
- 1\times(-1) = -1\in Q
- (-1)\times(-1) = 1\in Q
Portanto, Q também é fechado.

Passo 4

Analisando R = \{2,4,8\}:
- 2\times2 = 4\in R
- 2\times4 = 8\in R
- Mas 2\times8 = 16\notin R
Como existe um par cujo produto não está em R, o conjunto não é fechado.

Passo 5

Analisando S = \{3,6,9\}:
- 3\times3 = 9\in S
- Contudo 3\times6 = 18\notin S
Logo, S não é fechado.

Passo 6

Analisando T = \{5,10,15\}:
- 5\times5 = 25\notin T
Logo, já falha a condição de fechamento.

Resposta

Apenas P e Q são fechados sob multiplicação. Portanto, a alternativa correta é a (d).

Exercícios relacionados