Considere os seguintes conjuntos:
- Conjunto P:
- Conjunto Q:
- Conjunto R: {2, 4, 8}
- Conjunto S: {3, 6, 9}
- Conjunto T: {5, 10, 15}
Um conjunto é dito fechado sob a multiplicação se, para quaisquer dois elementos
e
desse conjunto, o produto z x y também pertence ao conjunto.
Quais desses conjuntos são fechados sob a multiplicação?
a) Apenas
e T .
b) Apenas P, Q e R.
c) Apenas Q e S .
d) Apenas P e Q .
e) Todos são fechados.
Quais desses conjuntos são fechados sob a multiplicação?
a) Apenas
b) Apenas P, Q e R.
c) Apenas Q e S .
d) Apenas P e Q .
e) Todos são fechados.
Passo 1
O enunciado fornece cinco conjuntos e pede para identificar quais são fechados sob multiplicação, ou seja, em cada conjunto
, para quaisquer
, o produto
deve pertencer a
. Vamos verificar isso elemento a elemento em cada conjunto.
Passo 2
Analisando
:
-
-
-
Logo, todo produto de elementos de permanece em
. Assim,
é fechado.
-
-
-
Logo, todo produto de elementos de
Passo 3
Analisando
:
-
-
-
Portanto, também é fechado.
-
-
-
Portanto,
Passo 4
Analisando
:
-
-
- Mas
Como existe um par cujo produto não está em , o conjunto não é fechado.
-
-
- Mas
Como existe um par cujo produto não está em
Passo 5
Analisando
:
-
- Contudo
Logo, não é fechado.
-
- Contudo
Logo,
Passo 6
Analisando
:
-
Logo, já falha a condição de fechamento.
-
Logo, já falha a condição de fechamento.
Resposta
Apenas
e
são fechados sob multiplicação. Portanto, a alternativa correta é a (d).