Em uma academia de ginástica, quando terminam as atividades diárias, as 5 bolas em formato esférico (todas de mesmo tamanho) usadas nos exercícios de Pilates são guardadas dentro de uma caixa em forma de prisma retangular, onde cabem exatamente uma ao lado da outra. Se o volume de cada bola é 36000 cm³, o volume mínimo, em cm³, do interior da caixa que contém as bolas é
a) 10880000
b) 18000000
c) 1.080.000
d) 1.080.000

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos 5 bolas esféricas, todas do mesmo tamanho, cada uma com volume de 36.000 cm³. Essas bolas precisam ser guardadas dentro de uma caixa que é um prisma retangular, onde elas ficam exatamente lado a lado. Nosso objetivo é descobrir qual é o volume mínimo dessa caixa para acomodar todas as 5 bolas. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de geometria relacionadas ao volume de esferas e de prismas retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o diâmetro de uma das bolas. Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Onde $ V $ é o volume e $ r $ é o raio da esfera. Queremos encontrar o raio, então vamos rearranjar a fórmula:
V

Passo 3

Agora, substituímos o valor do volume de uma bola na fórmula:
r = ( 3 times 360004 times pi )^13
Calculando isso, encontramos o raio da bola.

Passo 4

O diâmetro $ d $ da bola é simplesmente o dobro do raio:
d

Passo 5

Como as 5 bolas vão ficar uma ao lado da outra dentro da caixa, o comprimento da caixa será 5 vezes o diâmetro de uma bola, e a largura e a altura da caixa serão iguais ao diâmetro das bolas. Então, o volume da caixa ($ V_{caixa} $) é:
Vcaixa

Passo 6

Substituindo $ d = 2r $ na fórmula do volume da caixa:
d = 2r
Mas sabemos que $ r^3 = \frac{3V}{4\pi} $, onde $ V $ é o volume de uma bola. Então:
Vcaixa = 5(2r)^3 = 5 times 8r^3 = 40r^3 ³

Resposta

O volume mínimo da caixa é 1.080.000 cm³.

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