Ana, Carolina, Antônio e Bernardo participam de um torneio de xadrez na qual são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice-campeão. quantas são as prevenções possíveis?
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre Ana, Carolina, Antônio e Bernardo que estão participando de um torneio de xadrez onde são premiados o campeão e o vice-campeão. Nosso objetivo é descobrir quantas posições possíveis existem para esses dois prêmios. Para resolver isso, vamos usar o conceito de permutação, que lida com arranjos onde a ordem importa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que temos 4 participantes: Ana, Carolina, Antônio e Bernardo. Queremos escolher 2 pessoas para ocupar as duas primeiras posições: uma para campeão e outra para vice-campeão. Como a ordem importa (quem fica primeiro e quem fica segundo são diferentes), usamos a permutação.
Passo 3
A fórmula da permutação para escolher $ k $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos é:
Onde:
- $ n! $ é o fatorial de $ n $ (produto de todos os números de 1 até $ n $)
- $ k $ é o número de posições que queremos preencher
Passo 4
Aplicando os valores do nosso problema:
- $ n = 4 $ (quatro participantes)
- $ k = 2 $ (duas posições: campeão e vice-campeão)
Então:
Passo 5
Calculando os fatoriais:
- $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $
- $ 2! = 2 \times 1 = 2 $
Substituindo na fórmula:
Resposta
Existem 12 posições possíveis para os prêmios de campeão e vice-campeão. A opção correta é a d) 12.