Ação via Campo - Defina e/ou expresse o que se pede: [1,80]
0,60] Carga Fonte → Campo Elétrico: campo elétrico coulombiano em um certo ponto do espaço, produzido (i#) por uma carga puntiforme; (ii#) por \(N\) cargas puntiformes (PS); e (iii#) por uma distribuição contínua de cargas (PS).

Passo 1

O enunciado pede que eu defina e/ou expresse o campo elétrico coulombiano em um certo ponto do espaço, produzido em três situações distintas:
  • (i) por uma única carga puntiforme;
  • (ii) por N cargas puntiformes (princípio da superposição — PS);
  • (iii) por uma distribuição contínua de cargas (PS).
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar:
  • O campo é “coulombiano”, ou seja, segue a lei de Coulomb para forças entre cargas pontuais.
  • Deve-se apresentar expressões vetoriais para o campo em um ponto qualquer \mathbf{r} do espaço, usando notação que indique a posição da(s) carga(s) fonte e do ponto de observação.
  • Para a distribuição contínua, usar a ideia limite da soma discreta para um integral (com densidades de carga apropriadas: \rho, \lambda ou \sigma).

Passo 2

Definição operacional do campo elétrico e lei de Coulomb (ferramentas básicas).
  • O campo elétrico em um ponto \mathbf{r} é definido como a força por unidade de carga de prova infinitesimal colocada nesse ponto:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\lim_{q_0\to 0}\frac{\mathbf{F}_{\text{sobre }q_0}}{q_0}.
Aqui \mathbf{F}_{\text{sobre }q_0} é a força elétrica que atua na carga de prova q_0 provocada pelas cargas fonte; o limite q_0\to0 garante que a carga de prova não perturbe as fontes.
  • A lei de Coulomb para a força entre duas cargas pontuais q_1 (em \mathbf{r}_1) e q_2 (em \mathbf{r}_2) é:
\mathbf{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1|^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{21},
onde \hat{\mathbf{r}}_{21}=(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)/|\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1| é o versor de \mathbf{r}_1 para \mathbf{r}_2, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Esta expressão tem direção ao longo da linha que une as cargas e sentido de repulsão para cargas de mesmo sinal.
Explicando as variáveis:
  • \mathbf{r} é o ponto onde queremos o campo.
  • \mathbf{r}' (ou \mathbf{r}_i) é a posição da(s) carga(s) fonte.
  • q (ou q_i) é a magnitude (com sinal) da carga fonte.
  • \varepsilon_0 é constante: \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Campo elétrico produzido por uma única carga puntiforme (caso (i)).
  • Começo aplicando a definição \mathbf{E}=\mathbf{F}/q_0. Para uma carga fonte q localizada em \mathbf{r}' e uma carga de prova q_0 em \mathbf{r}, pela lei de Coulomb:
\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\,q_0}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2}\,\hat{\mathbf{R}}, \qquad \hat{\mathbf{R}}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}.
  • Dividindo por q_0 (e tomando q_0\to0 se quiser enfatizar a carga de prova infinitesimal), obtém-se o campo:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}.
  • Interpretação e forma escalar:
    • A direção é radial: para q>0 o campo aponta para fora de \mathbf{r}'; para q<0 aponta para dentro.
    • A magnitude é
    E(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2}.
  • Exemplo prático (rápido): se q=1\\ \mu\mathrm{C} em \mathbf{r}'=\mathbf{0} e \mathbf{r} está a 2\\ \mathrm{m} da origem, então numericamente
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1\times10^{-6}}{2^2}\approx 9{,}0\times10^{3}\cdot\frac{1}{4}=2250\\ \mathrm{N/C}.
(Essa conta é só para ver como usar a fórmula.)

Passo 4

Campo elétrico produzido por N cargas puntiformes (caso (ii) — princípio da superposição).
  • O campo é linear na carga; cargas distintas contribuem independentemente. Assim, se há N cargas q_i em posições \mathbf{r}_i ( i=1,\dots,N), o campo total em \mathbf{r} é a soma vetorial das contribuições de cada carga:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N}\mathbf{E}_i(\mathbf{r}) =\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_i\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}.
  • Procedimento prático (como fazer na prova):
    1. Para cada i, calcule o vetor \mathbf{R}_i=\mathbf{r}-\mathbf{r}_i.
    2. Calcule |\mathbf{R}_i| e então \mathbf{E}_i=(1/4\pi\varepsilon_0)q_i\mathbf{R}_i/|\mathbf{R}_i|^3.
    3. Some todos os \mathbf{E}_i componente a componente.
  • Observação: se houver simetrias (por exemplo cargas iguais em posições simétricas), muitas componentes se cancelam e simplificam a soma.

Passo 5

Campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de cargas (caso (iii) — usar integral como limite da soma).
  • Ideia: partir da soma discreta e passar ao limite quando as cargas tornam-se infinitesimais. Em geral, escreve-se a carga elementar \mathrm{d}q em termos da densidade apropriada e de um elemento de volume/área/comprimento.
  • Forma geral para distribuição volumétrica com densidade \rho(\mathbf{r}') (carga por unidade de volume):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{volume}}\frac{\rho(\mathbf{r}')\big(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}V'.
Aqui \mathbf{r}' percorre todos os pontos onde existe carga; \mathrm{d}q=\rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}V'.
  • Fórmulas análogas para distribuições de menor dimensão:
    • Linha (densidade linear \lambda(\mathbf{r}'), elemento \mathrm{d}\ell'):
    \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{linha}}\frac{\lambda(\mathbf{r}')\big(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\ell'.
    • Superfície (densidade superficial \sigma(\mathbf{r}'), elemento \mathrm{d}A'):
    \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{superfície}}\frac{\sigma(\mathbf{r}')\big(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}A'.í
  • Explicando as variáveis:
    • \rho(\mathbf{r}') é carga por unidade de volume em \mathbf{r}'.
    • \lambda(\mathbf{r}') é carga por unidade de comprimento em \mathbf{r}'.
    • \sigma(\mathbf{r}') é carga por unidade de área em \mathbf{r}'.
    • Em todos os casos o núcleo do integrando é a direção e a intensidade da contribuição elementar: (\mathbf{r}-\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3.

Passo 6

Exemplo de cálculo detalhado e rápido: campo de uma linha infinita uniformemente carregada (ilustrativo e útil em provas).
  • Suponha uma linha infinita ao longo do eixo z com densidade linear constante \lambda. Queremos \mathbf{E} num ponto a distância s do eixo (no plano radial).
  • Escolha elemento \mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}z' em posição z'. O vetor da fonte até o ponto de observação tem módulo R=\sqrt{s^2+z'^2}.
  • A contribuição elemental tem magnitude
\mathrm{d}E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{R^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,\mathrm{d}z'}{(s^2+z'^2)}.
O componente radial que contribui para o campo é \mathrm{d}E_r=\mathrm{d}E\cos\theta com \cos\theta=s/R. Assim
\mathrm{d}E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda\,s\,\mathrm{d}z'}{(s^2+z'^2)^{3/2}}.
  • Integra-se z' de -\infty a +\infty:
E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda s\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{(s^2+z'^2)^{3/2}}.
Cálculo da integral conhecida:
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z'}{(s^2+z'^2)^{3/2}}=\frac{2}{s^2}.
Substituindo:
E_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\lambda s\cdot\frac{2}{s^2}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{1}{s}.
  • Resultado final (direção radial, para fora se \lambda>0):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 s}\,\hat{\mathbf{s}}.
Esse exemplo mostra como usar simetria, escolher elemento \mathrm{d}q, decompor vetores e resolver a integral — procedimento padrão em provas.

Passo 7

Dicas práticas para aplicar essas fórmulas em prova (passo-a-passo que salva tempo e evita erros):
  1. Identifique claramente a posição da(s) carga(s) fonte \mathbf{r}' e do ponto de observação \mathbf{r}.
  2. Use a forma vetorial \mathbf{r}-\mathbf{r}' para garantir sinal e direção corretos.
  3. Para N cargas, aplique a soma vetorial direta; para distribuições contínuas, escreva \mathrm{d}q em termos de \rho\,\mathrm{d}V, \lambda\,\mathrm{d}\ell ou \sigma\,\mathrm{d}A.
  4. Explore simetrias antes de integrar: muitas componentes se cancelam por simetria (isso simplifica muito).
  5. Verifique dimensões e sentido do campo (para verificar se o sinal está coerente).
  6. Se a densidade for constante, retire-a da integral; se variar, substitua explicitamente e integre.
  7. Anote sempre ao final a unidade: \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m} (mesma unidade).

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}.
(ii) \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_i\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_i}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^3}.
(iii) \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\text{volume}}\frac{\rho(\mathbf{r}')\big(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\big)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}V'
(para linha: \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\lambda(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\ell'; para superfície: \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\sigma(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}A'.)

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