Ação via Campo - Defina e/ou expresse o que se pede: [1,80]
Passo 1
O enunciado pede que eu defina e/ou expresse o campo elétrico coulombiano em um certo ponto do espaço, produzido em três situações distintas:
- (i) por uma única carga puntiforme;
- (ii) por
cargas puntiformes (princípio da superposição — PS); - (iii) por uma distribuição contínua de cargas (PS).
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar:
- O campo é “coulombiano”, ou seja, segue a lei de Coulomb para forças entre cargas pontuais.
- Deve-se apresentar expressões vetoriais para o campo em um ponto qualquer
do espaço, usando notação que indique a posição da(s) carga(s) fonte e do ponto de observação. - Para a distribuição contínua, usar a ideia limite da soma discreta para um integral (com densidades de carga apropriadas:
, ou ).
Passo 2
Definição operacional do campo elétrico e lei de Coulomb (ferramentas básicas).
- O campo elétrico em um ponto
é definido como a força por unidade de carga de prova infinitesimal colocada nesse ponto:
Aqui
é a força elétrica que atua na carga de prova
provocada pelas cargas fonte; o limite
garante que a carga de prova não perturbe as fontes.
- A lei de Coulomb para a força entre duas cargas pontuais
(em ) e (em ) é:
onde
é o versor de
para
, e
é a permissividade do vácuo. Esta expressão tem direção ao longo da linha que une as cargas e sentido de repulsão para cargas de mesmo sinal.
Explicando as variáveis:
-
é o ponto onde queremos o campo. -
(ou ) é a posição da(s) carga(s) fonte. -
(ou ) é a magnitude (com sinal) da carga fonte. -
é constante: .
Passo 3
Campo elétrico produzido por uma única carga puntiforme (caso (i)).
- Começo aplicando a definição
. Para uma carga fonte localizada em e uma carga de prova em , pela lei de Coulomb:
- Dividindo por
(e tomando se quiser enfatizar a carga de prova infinitesimal), obtém-se o campo:
- Interpretação e forma escalar:
- A direção é radial: para
o campo aponta para fora de ; para aponta para dentro. - A magnitude é
- A direção é radial: para
- Exemplo prático (rápido): se
em e está a da origem, então numericamente
(Essa conta é só para ver como usar a fórmula.)
Passo 4
Campo elétrico produzido por
cargas puntiformes (caso (ii) — princípio da superposição).
- O campo é linear na carga; cargas distintas contribuem independentemente. Assim, se há
cargas em posições ( ), o campo total em é a soma vetorial das contribuições de cada carga:
- Procedimento prático (como fazer na prova):
- Para cada
, calcule o vetor . - Calcule
e então . - Some todos os
componente a componente.
- Para cada
- Observação: se houver simetrias (por exemplo cargas iguais em posições simétricas), muitas componentes se cancelam e simplificam a soma.
Passo 5
Campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de cargas (caso (iii) — usar integral como limite da soma).
- Ideia: partir da soma discreta e passar ao limite quando as cargas tornam-se infinitesimais. Em geral, escreve-se a carga elementar
em termos da densidade apropriada e de um elemento de volume/área/comprimento. - Forma geral para distribuição volumétrica com densidade
(carga por unidade de volume):
Aqui
percorre todos os pontos onde existe carga;
.
- Fórmulas análogas para distribuições de menor dimensão:
- Linha (densidade linear
, elemento ):
- Superfície (densidade superficial
, elemento ):
- Linha (densidade linear
- Explicando as variáveis:
-
é carga por unidade de volume em . -
é carga por unidade de comprimento em . -
é carga por unidade de área em . - Em todos os casos o núcleo do integrando é a direção e a intensidade da contribuição elementar:
.
-
Passo 6
Exemplo de cálculo detalhado e rápido: campo de uma linha infinita uniformemente carregada (ilustrativo e útil em provas).
- Suponha uma linha infinita ao longo do eixo
com densidade linear constante . Queremos num ponto a distância do eixo (no plano radial). - Escolha elemento
em posição . O vetor da fonte até o ponto de observação tem módulo . - A contribuição elemental tem magnitude
O componente radial que contribui para o campo é
com
. Assim
- Integra-se
de a :
Cálculo da integral conhecida:
Substituindo:
- Resultado final (direção radial, para fora se
):
Esse exemplo mostra como usar simetria, escolher elemento
, decompor vetores e resolver a integral — procedimento padrão em provas.
Passo 7
Dicas práticas para aplicar essas fórmulas em prova (passo-a-passo que salva tempo e evita erros):
- Identifique claramente a posição da(s) carga(s) fonte
e do ponto de observação . - Use a forma vetorial
para garantir sinal e direção corretos. - Para
cargas, aplique a soma vetorial direta; para distribuições contínuas, escreva em termos de , ou . - Explore simetrias antes de integrar: muitas componentes se cancelam por simetria (isso simplifica muito).
- Verifique dimensões e sentido do campo (para verificar se o sinal está coerente).
- Se a densidade for constante, retire-a da integral; se variar, substitua explicitamente e integre.
- Anote sempre ao final a unidade:
ou (mesma unidade).
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(para linha: ; para superfície:
.)
(para linha: