b) Qual é a aceleração adquirida pelo caixote, quando uma força de 220 N é aplicada sobre ele?
5. Um bloco de massa \mathrm{m}=5 \mathrm{~kg} é colocado, em repouso, em um plano inclinado de 30^{\circ} em relação ao plano horizontal. Se os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano de apoio valem \mu \mathrm{e}=0,7 e \mu \mathrm{c}=0,5, pergunta-se:

Passo 1

O enunciado (parte b) pergunta qual é a aceleração adquirida por um caixote quando uma força de 220\\ \mathrm{N} é aplicada sobre ele. Informações dadas: m=5\\ \mathrm{kg}, o plano está inclinado de 30^\circ em relação à horizontal, coeficiente de atrito estático \mu_e=0,7 e coeficiente de atrito cinético \mu_c=0,5. Não foi especificada a direção da força no enunciado complementar, portanto vamos considerar a situação física usual: a força de 220\\ \mathrm{N} é aplicada ao longo do plano, no sentido que tende a puxar o bloco para cima do plano. As perguntas implícitas que temos de responder são: (i) o bloco permanece em repouso ou começa a se mover? e (ii) se se move, qual é a aceleração?

Passo 2

Desenho mental das forças e definição das variáveis (explicando cada coisa como se estivéssemos no caderno): temos as forças que atuam no bloco sobre o plano inclinado:
  • peso \vec{P} de módulo mg, atuando verticalmente para baixo; aqui m é a massa do bloco e g é a aceleração da gravidade (vamos usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • força aplicada \vec{F} de módulo 220\\ \mathrm{N}, que estamos assumindo paralela ao plano e dirigida para cima do plano.
  • força normal \vec{N}, perpendicular ao plano, cuja intensidade chamamos de N.
  • força de atrito, que pode ser estática (até um máximo) ou cinética (quando há movimento). O atrito atua tangencialmente ao plano e sempre se opõe ao movimento relativo entre bloco e plano.
Explicando o papel das componentes do peso: no plano inclinado é útil decompor mg em duas componentes — uma normal ao plano e outra paralela ao plano:
\text{componente paralela (para baixo)}:\; mg\sin30^\circ
\text{componente normal}:\; mg\cos30^\circ
Lembrete: \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}=0,5 e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866.

Passo 3

Calcular as componentes do peso e a normal:
mg = 5\cdot 9,8 = 49\\ \mathrm{N}.
Componente paralela (puxa para baixo):
mg\sin30^\circ = 49\cdot 0,5 = 24,5\\ \mathrm{N}.
Componente normal:
N = mg\cos30^\circ = 49\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{2}\approx 49\cdot 0,866 = 42,44\\ \mathrm{N}.
Aqui expliquei: N é igual à componente normal do peso porque não há outra força perpendicular ao plano (a força aplicada é paralela ao plano).

Passo 4

Calcular a máxima força de atrito estático que pode aparecer antes do bloco começar a deslizar:
f_{s,\max} = \mu_e N.
Substituindo:
f_{s,\max} = 0,7\cdot 42,44 \approx 29,71\\ \mathrm{N}.
Interpretação didática: isso significa que, enquanto as forças tangenciais resultantes que tendem a mover o bloco forem menores que 29,71\\ \mathrm{N}, o atrito estático pode se ajustar e manter o bloco em repouso.

Passo 5

Verificar a tendência de movimento com a força aplicada de 220\\ \mathrm{N} (fazendo conta para ver se o atrito estático basta para segurar o bloco). Se a força aplicada é para cima do plano, as forças que tendem a puxar o bloco para cima são \,F, e as que tendem a puxá-lo para baixo são mg\sin30^\circ mais qualquer atrito estático (que atua na direção que impede o movimento). Para que o bloco comece a subir, é necessário que F supere mg\sin30^\circ + f_{s,\max}. Calculemos essa soma:
mg\sin30^\circ + f_{s,\max} = 24,5 + 29,71 = 54,21\\ \mathrm{N}.
Como F=220\\ \mathrm{N} é muito maior que 54,21\\ \mathrm{N}, o atrito estático não consegue segurar o bloco: ele começa a mover-se (no sentido para cima do plano). Conclusão: haverá movimento e portanto devemos usar o atrito cinético.

Passo 6

Calcular a força de atrito cinético (quando o bloco já está em movimento):
f_k = \mu_c N = 0,5\cdot 42,44 \approx 21,22\\ \mathrm{N}.
Explicação: o atrito cinético tem valor fixo dado por \mu_c N e sempre se opõe ao movimento (aqui, como o bloco sobe, f_k aponta para baixo do plano).

Passo 7

Escrever o equilíbrio das forças na direção ao longo do plano e calcular a aceleração. Escolhemos a direção positiva para cima do plano. As forças na direção do plano são: +F (para cima), -mg\sin30^\circ (para baixo) e -f_k (atrito, para baixo). A segunda lei de Newton dá:
\sum F_{\parallel} = m a \quad\Longrightarrow\quad F - mg\sin30^\circ - f_k = m a.
Substituindo números:
a = \frac{F - mg\sin30^\circ - f_k}{m} = \frac{220 - 24,5 - 21,22}{5}.
Calculemos o numerador:
220 - 24,5 - 21,22 = 174,28\\ \mathrm{N}.
Dividindo pela massa:
a = \frac{174,28}{5} = 34,856\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
a \approx 34,86\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 8

Pequena interpretação final e incentivo: o valor da aceleração ficou grande porque a força aplicada 220\\ \mathrm{N} é muito maior que o peso paralelo e as forças de atrito — o bloco é puxado muito fortemente para cima. Se tivesse dúvida sobre os sinais ou a direção do atrito, basta lembrar: o atrito sempre se opõe ao movimento relativo; para checar se o bloco se move, compare a força aplicada com a soma das forças que se opõem ao movimento (aqui mg\sin\theta mais f_{s,\max}). Conseguimos! Você foi de zero a resultado com todos os passos.

Resposta

34,86\\ \mathrm{m/s^2}

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