1. MINIMIZAÇÃO DO ATRITO CINÉTICO No Exemplo 5.13, suponha que você tente mover o engradado amarrando uma corda em torno dele e puxando a corda para cima com um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal. Qual é a força que você deve fazer para manter o movimento com velocidade constante? O esforço que você faz é maior ou menor do que quando aplica uma força horizontal? Suponha p=500 \mathrm{Ne} \mu_{\mathrm{c}}=0,40.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a força F que você deve aplicar, puxando a corda para cima com ângulo de 30^\circ com a horizontal, para manter o engradado em movimento com velocidade constante.
  • Dizer se esse esforço é maior ou menor do que quando a força é aplicada horizontalmente.
Informações dadas:
  • Peso do engradado: p=500\\ \mathrm{N}.
  • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{\mathrm{c}}=0{,}40.
  • Ângulo da força com a horizontal: \theta=30^\circ.
  • Movimento com velocidade constante: velocidade constante implica que a soma das forças em cada direção é zero (equilíbrio dinâmico).

Passo 2

Identificar e desenhar mentalmente as forças atuantes (vou explicar como pensar nisso como se desenhássemos um diagrama):
  • Força que você puxa: F, aplicada numa direção que faz ângulo \theta acima da horizontal. Essa força tem duas componentes:
    • componente horizontal para a direita: F\cos\theta,
    • componente vertical para cima: F\sin\theta.
  • Peso do engradado atuando para baixo: p.
  • Força normal da superfície sobre o engradado, para cima: N.
  • Força de atrito cinético, horizontal e para a esquerda (opõe o movimento): f_k.
Explicação didática: em problemas de atrito com puxar inclinado, a componente vertical da força diminui a carga sobre a superfície, reduzindo a normal e, portanto, o atrito. A componente horizontal precisa vencer o atrito para manter o movimento.

Passo 3

Escrever a expressão da normal N usando equilíbrio vertical (somatório de forças verticais = 0):
  • Para cima temos N e F\sin\theta.
  • Para baixo temos o peso p.
    Portanto, o equilíbrio vertical dá:
N + F\sin\theta - p = 0.
Isolando N,
N = p - F\sin\theta.
Explicação da fórmula: N é a força de reação da superfície; se você puxa para cima uma parte do peso é compensada pela sua força vertical, então a superfície “empurra” menos.

Passo 4

Expressar a força de atrito cinético f_k. A definição do atrito cinético é:
f_k = \mu_{\mathrm{c}} N,
onde \mu_{\mathrm{c}} é o coeficiente de atrito cinético e N é a normal. Substituindo N da etapa anterior:
f_k = \mu_{\mathrm{c}}(p - F\sin\theta).
Didática: o atrito depende da normal; se N diminui, o atrito diminui proporcionalmente ao coeficiente \mu_{\mathrm{c}}.

Passo 5

Equilíbrio na direção horizontal (como a velocidade é constante, a soma das forças horizontais é zero):
  • Para a direita temos F\cos\theta.
  • Para a esquerda temos f_k.
    Logo,
F\cos\theta - f_k = 0.
Substituindo f_k,
F\cos\theta - \mu_{\mathrm{c}}(p - F\sin\theta) = 0.

Passo 6

Resolver a equação para F. Desenvolvendo:
F\cos\theta - \mu_{\mathrm{c}}p + \mu_{\mathrm{c}}F\sin\theta = 0.
Agrupando os termos com F,
F(\cos\theta + \mu_{\mathrm{c}}\sin\theta) = \mu_{\mathrm{c}}p.
Isolando F,
F = \frac{\mu_{\mathrm{c}}p}{\cos\theta + \mu_{\mathrm{c}}\sin\theta}.
Explicação: rearranjamos a igualdade para deixar F de um lado; a expressão no denominador mostra como tanto a componente horizontal ( \cos\theta) quanto a vertical (através de \sin\theta) influenciam o esforço necessário.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
  • \mu_{\mathrm{c}}=0{,}40,
  • p=500\\ \mathrm{N},
  • \theta=30^\circ tem \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866025 e \sin 30^\circ = 0{,}5.
Calcular o numerador:
\mu_{\mathrm{c}}p = 0{,}40 \times 500 = 200\\ \mathrm{N}.
Calcular o denominador:
\cos\theta + \mu_{\mathrm{c}}\sin\theta = 0{,}866025 + 0{,}40\times 0{,}5 = 0{,}866025 + 0{,}20 = 1{,}066025.
Agora F:
F = \frac{200}{1{,}066025}\\ \mathrm{N} \approx 187{,}6\\ \mathrm{N}.
Detalhe de arredondamento: aqui arredondei para uma casa decimal; se quiser duas casas, F\approx 187{,}60\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Comparar com a situação de puxar horizontalmente ( \theta=0). Para \theta=0 temos:
  • \sin 0^\circ=0, \cos 0^\circ=1.
    Pela fórmula geral:
F_{\text{horizontal}} = \frac{\mu_{\mathrm{c}}p}{\cos 0^\circ + \mu_{\mathrm{c}}\sin 0^\circ} = \frac{\mu_{\mathrm{c}}p}{1 + 0} = \mu_{\mathrm{c}}p.
Substituindo:
F_{\text{horizontal}} = 0{,}40 \times 500 = 200\\ \mathrm{N}.
Comparação numérica:
F_{\theta=30^\circ}\approx 187{,}6\\ \mathrm{N} < F_{\text{horizontal}}=200\\ \mathrm{N}.
Interpretação: puxar um pouco para cima reduz a normal e, portanto, o atrito; isso reduz a força horizontal necessária, então o esforço é menor quando se puxa com \theta=30^\circ.

Passo 9

Quantificar a redução percentual (opcional, mas útil para sentir a diferença):
\text{redução} = \frac{200 - 187{,}6}{200}\times 100\%\approx 6{,}2\%.çã
Ou seja, você economiza cerca de 6{,}2\% de esforço comparado ao puxo horizontal.

Resposta

F \approx 187{,}6\\ \mathrm{N}\nMenor; força horizontal necessária seria 200\\ \mathrm{N}, logo puxar a 30^\circ exige menos esforço (redução ≈ 6{,}2\%).

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