Exercícios

  1. Um bloco de massa \mathrm{m}_{\mathrm{A}}=10 \mathrm{~kg}, sobre uma superfície com atrito, está conectado a um bloco de massa m_{B}, por uma corda que passa por uma polia sem atrito. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície é \mu_{\mathrm{e}}=0,6, e o coeficiente de atrito cinético é \mu_{\mathrm{c}}=0,5, determine:

Passo 1

O enunciado dá um sistema com dois blocos ligados por uma corda sem massa que passa por uma polia sem atrito. As informações fornecidas são:
m_A = 10\\ \mathrm{kg},
\mu_e = 0,6\quad(\text{coeficiente de atrito estático}),á
\mu_c = 0,5\quad(\text{coeficiente de atrito cinético}).é
Não foi dado valor numérico para m_B nem indicado diretamente o que pedir, então vou responder às perguntas clássicas desse tipo de exercício, que são:
  1. Determinar o valor mínimo de m_B necessário para que o sistema comece a mover-se (isto é, para vencer o atrito estático).
  2. Determinar a aceleração do sistema quando m_B é maior que esse valor mínimo (usando o atrito cinético após o início do movimento).
Vou tomar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} quando precisar de um valor numérico para a aceleração ou forças.

Passo 2

Entendendo as forças envolvidas (aula rápida e essencial). Vou descrever as forças em cada bloco e explicar conceitos:
  • Bloco A (sobre a superfície): atua verticalmente seu peso m_A g para baixo e a reação normal N para cima; na horizontal há a tensão T da corda puxando para a direita e a força de atrito F atuando para a esquerda. A força de atrito pode ser estática (quando não há deslizamento) ou cinética (quando há deslizamento).
  • Bloco B (pendurado): há o peso m_B g para baixo e a mesma tensão T para cima (pulley sem atrito e corda sem massa -> tensão é a mesma em toda a corda).
Conceitos de atrito que vamos usar:
  • Atrito estático máximo: \displaystyle F_{s,\max}=\mu_e N. Enquanto a força solicitante for menor que F_{s,\max}, o bloco não desliza e a força de atrito ajusta-se até esse máximo.
  • Atrito cinético (quando desliza): \displaystyle F_k=\mu_c N (valor praticamente constante, direcionado oposto ao movimento).
  • Como A está em superfície horizontal sem outras forças verticais além do peso e normal, temos N=m_A g. Logo:
F_{s,\max}=\mu_e m_A g,\qquad F_k=\mu_c m_A g.

Passo 3

Equilíbrio inicial e condição para o início do movimento (passo a passo didático).
  • Se o sistema estiver inicialmente em repouso e não houver aceleração, a tensão na corda é igual ao peso do bloco B: T = m_B g (porque B também está em equilíbrio vertical).
  • O bloco A em equilíbrio horizontal exige T \le F_{s,\max}. Como T = m_B g, a condição para permanecer em repouso é:
m_B g \le \mu_e m_A g.
  • O fator g aparece em ambos os lados e pode ser cancelado (isso é importante: o peso e o atrito estático máximo ambos são proporcionais a g, então a comparação entre massas independe de g). Cancela-se g e obtemos:
m_B \le \mu_e m_A.

Passo 4

Cálculo numérico do valor limite para m_B (detalhando contas).
  • Substituindo \mu_e = 0,6 e m_A = 10\\ \mathrm{kg}:
m_B \le 0,6 \cdot 10 = 6.
  • Portanto, o valor mínimo de m_B para iniciar o movimento é qualquer m_B estritamente maior que 6\\ \mathrm{kg}. No limite de equilíbrio (instante antes de mover) temos m_B = 6\\ \mathrm{kg}.
Comentário empático: é normal que isso pareça um truque — o g some na comparação — mas é só porque tanto a força que puxa quanto o atrito máximo dependem do peso.

Passo 5

Situação quando m_B>6\\ \mathrm{kg}: montagem das equações do movimento (Newton explicado com calma).
  • Após o início do movimento, o atrito que atua é o cinético, com módulo F_k=\mu_c m_A g e direção oposta ao movimento de A. Se m_B é maior, o bloco B desce e puxa A para a direita.
  • Vamos escrever a segunda lei de Newton para cada bloco (escolhendo sentido positivo: para A à direita, para B para baixo).
    • Para A: soma das forças horizontais = massa vezes aceleração:
    T - F_k = m_A a.
    • Para B: soma das forças verticais (para baixo positivo):
    m_B g - T = m_B a.
  • Explicação do que significam cada termo:
    • T é a tensão na corda (mesma para os dois blocos).
    • F_k=\mu_c m_A g é a força de atrito cinético, que já substituí pela expressão com \mu_c.
    • a é a aceleração comum dos dois blocos (mesma magnitude, pois a corda é inextensível).

Passo 6

Resolver o sistema para a (passo a passo de álgebra simples).
  • Somando as duas equações para eliminar T:
(T - F_k) + (m_B g - T) = m_A a + m_B a.
  • O T cancela, sobrando:
m_B g - F_k = (m_A + m_B) a.
  • Substituindo F_k=\mu_c m_A g:
m_B g - \mu_c m_A g = (m_A + m_B) a.
  • Isolando a:
a = \frac{m_B g - \mu_c m_A g}{m_A + m_B}.
  • Fatorando g:
a = g\;\frac{m_B - \mu_c m_A}{m_A + m_B}.

Passo 7

Interpretação da fórmula e verificação de sinal (por que a fórmula faz sentido).
  • A aceleração é positiva (isto é, B desce) quando m_B - \mu_c m_A > 0, ou seja m_B > \mu_c m_A. Numericamente, \mu_c m_A = 0,5\cdot 10 = 5\\ \mathrm{kg}. Note que isto é menor que o limite de atrito estático (6 kg): isso apenas diz que, uma vez que o movimento começou, mesmo massas entre 5 e 6\\ \mathrm{kg} seriam suficientes para manter a aceleração positiva na fórmula — mas na prática não há movimento para m_B\le 6 porque o atrito estático impediria o início. Portanto a condição real para movimento é m_B>6\\ \mathrm{kg}; para esses m_B a fórmula acima dá a>0.
  • A fórmula também mostra que quanto maior for m_B, maior será a, e o denominador m_A+m_B leva em conta a inércia total do sistema.

Passo 8

Resumo didático final (como aplicar isso numa prova).
  • Para verificar se o sistema se move: compare m_B com \mu_e m_A. Se m_B\le \mu_e m_A então repouso. Se m_B>\mu_e m_A então há movimento.
  • Se há movimento, usar as equações de Newton para cada bloco, eliminar T somando as equações e usar o atrito cinético F_k=\mu_c m_A g para obter a expressão de a dada anteriormente.
  • Sempre explique em prova por que você cancelou g (quando for comparar massas) e escreva claramente se está usando atrito estático ou cinético.

Resposta

m_B^{\text{(mín)}} = 6\\ \mathrm{kg}í
a = g\;\frac{m_B - \mu_c m_A}{m_A + m_B},
válida quando m_B>6\\ \mathrm{kg}.

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