Exercícios
- Um bloco de massa
, sobre uma superfície com atrito, está conectado a um bloco de massa
, por uma corda que passa por uma polia sem atrito. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície é
, e o coeficiente de atrito cinético é
, determine:
Passo 1
O enunciado dá um sistema com dois blocos ligados por uma corda sem massa que passa por uma polia sem atrito. As informações fornecidas são:
Não foi dado valor numérico para
nem indicado diretamente o que pedir, então vou responder às perguntas clássicas desse tipo de exercício, que são:
- Determinar o valor mínimo de
necessário para que o sistema comece a mover-se (isto é, para vencer o atrito estático). - Determinar a aceleração do sistema quando
é maior que esse valor mínimo (usando o atrito cinético após o início do movimento).
Vou tomar
quando precisar de um valor numérico para a aceleração ou forças.
Passo 2
Entendendo as forças envolvidas (aula rápida e essencial). Vou descrever as forças em cada bloco e explicar conceitos:
- Bloco
(sobre a superfície): atua verticalmente seu peso para baixo e a reação normal para cima; na horizontal há a tensão da corda puxando para a direita e a força de atrito atuando para a esquerda. A força de atrito pode ser estática (quando não há deslizamento) ou cinética (quando há deslizamento). - Bloco
(pendurado): há o peso para baixo e a mesma tensão para cima (pulley sem atrito e corda sem massa -> tensão é a mesma em toda a corda).
Conceitos de atrito que vamos usar:
- Atrito estático máximo:
. Enquanto a força solicitante for menor que , o bloco não desliza e a força de atrito ajusta-se até esse máximo. - Atrito cinético (quando desliza):
(valor praticamente constante, direcionado oposto ao movimento). - Como
está em superfície horizontal sem outras forças verticais além do peso e normal, temos . Logo:
Passo 3
Equilíbrio inicial e condição para o início do movimento (passo a passo didático).
- Se o sistema estiver inicialmente em repouso e não houver aceleração, a tensão na corda é igual ao peso do bloco
: (porque também está em equilíbrio vertical). - O bloco
em equilíbrio horizontal exige . Como , a condição para permanecer em repouso é:
- O fator
aparece em ambos os lados e pode ser cancelado (isso é importante: o peso e o atrito estático máximo ambos são proporcionais a , então a comparação entre massas independe de ). Cancela-se e obtemos:
Passo 4
Cálculo numérico do valor limite para
(detalhando contas).
- Substituindo
e :
- Portanto, o valor mínimo de
para iniciar o movimento é qualquer estritamente maior que . No limite de equilíbrio (instante antes de mover) temos .
Comentário empático: é normal que isso pareça um truque — o
some na comparação — mas é só porque tanto a força que puxa quanto o atrito máximo dependem do peso.
Passo 5
Situação quando
: montagem das equações do movimento (Newton explicado com calma).
- Após o início do movimento, o atrito que atua é o cinético, com módulo
e direção oposta ao movimento de . Se é maior, o bloco desce e puxa para a direita. - Vamos escrever a segunda lei de Newton para cada bloco (escolhendo sentido positivo: para
à direita, para para baixo). - Para
: soma das forças horizontais = massa vezes aceleração:
- Para
: soma das forças verticais (para baixo positivo):
- Para
- Explicação do que significam cada termo:
-
é a tensão na corda (mesma para os dois blocos). -
é a força de atrito cinético, que já substituí pela expressão com . -
é a aceleração comum dos dois blocos (mesma magnitude, pois a corda é inextensível).
-
Passo 6
Resolver o sistema para
(passo a passo de álgebra simples).
- Somando as duas equações para eliminar
:
- O
cancela, sobrando:
- Substituindo
:
- Isolando
:
- Fatorando
:
Passo 7
Interpretação da fórmula e verificação de sinal (por que a fórmula faz sentido).
- A aceleração é positiva (isto é,
desce) quando , ou seja . Numericamente, . Note que isto é menor que o limite de atrito estático (6 kg): isso apenas diz que, uma vez que o movimento começou, mesmo massas entre e seriam suficientes para manter a aceleração positiva na fórmula — mas na prática não há movimento para porque o atrito estático impediria o início. Portanto a condição real para movimento é ; para esses a fórmula acima dá . - A fórmula também mostra que quanto maior for
, maior será , e o denominador leva em conta a inércia total do sistema.
Passo 8
Resumo didático final (como aplicar isso numa prova).
- Para verificar se o sistema se move: compare
com . Se então repouso. Se então há movimento. - Se há movimento, usar as equações de Newton para cada bloco, eliminar
somando as equações e usar o atrito cinético para obter a expressão de dada anteriormente. - Sempre explique em prova por que você cancelou
(quando for comparar massas) e escreva claramente se está usando atrito estático ou cinético.
Resposta
válida quando
.