A aceleração de certo foguete é dada por
, em que
é uma constante positiva. Determine:
a) A função geral da velocidade,
.
b) A função geral da posição,
.
c) A posição e a velocidade em
, considerando que o foguete saiu de
, a partir do repouso e que a constante
.
a) A função geral da velocidade,
b) A função geral da posição,
c) A posição e a velocidade em
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente sabe que a aceleração do foguete é dada por
onde
é uma constante positiva. O assunto aqui é cálculo: a gente vai usar integração pra passar de aceleração pra velocidade e, depois, pra posição. Então o que vamos precisar é:
- Entender que
e que, integrando em relação a , a gente encontra . - Depois usar
e integrar pra ter . - Por fim, aplicar as condições iniciais (repouso em
, ) e, no item ©, substituir e .
Passo 2
Queremos a velocidade geral
.
- Sabendo que
, basta integrar:
- Como o foguete parte do repouso em
, temos . Logo
Então
Passo 3
Agora a posição
.
- Lembrando que
, integramos de novo:
- A condição inicial é
, então
Ficamos com
Passo 4
Agora o item ©: calcular
e
usando
.
- Velocidade em
:
- Posição em
:
Resposta
Funções gerais:
Com
e em
: