A aceleração de certo foguete é dada por a=b t^3, em que b é uma constante positiva. Determine:
a) A função geral da velocidade, v(t).
b) A função geral da posição, x(t).
c) A posição e a velocidade em t=5,0 s, considerando que o foguete saiu de x=10 m, a partir do repouso e que a constante b=3,0 m / s^5.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente sabe que a aceleração do foguete é dada por
a(t) = b,t^3,
onde é uma constante positiva. O assunto aqui é cálculo: a gente vai usar integração pra passar de aceleração pra velocidade e, depois, pra posição. Então o que vamos precisar é:
  • Entender que e que, integrando em relação a , a gente encontra .
  • Depois usar e integrar pra ter .
  • Por fim, aplicar as condições iniciais (repouso em , ) e, no item ©, substituir e .

Passo 2

Queremos a velocidade geral v(t)=integral a(t),dt=integral b,t^3,dt = b;t^44 + C1 = b4,t^4 + C1 .
  1. Sabendo que 0 = v(0) = b4cdot0^4 + C1 Longrightarrow C1=0 , basta integrar:
boxedv(t)=b4,t^4
  1. Como o foguete parte do repouso em , temos . Logo
Então

Passo 3

Agora a posição x(t)=integral v(t),dt =integral b4,t^4,dt =b4;t^55 + C2 = b20,t^5 + C2 .
  1. Lembrando que 10 = x(0) = b20cdot0^5 + C2 Longrightarrow C2=10 , integramos de novo:
boxedx(t)=b20,t^5 + 10
  1. A condição inicial é , então
Ficamos com

Passo 4

Agora o item ©: calcular v(5)=3,04,5^4 =34times 625 =18754 =468,75 m/s e x(5)=3,020,5^5 + 10 =320times 3125 + 10 =937520 + 10 =468,75 + 10 =478,75 m usando .
  1. Velocidade em :
  1. Posição em :

Resposta

Funções gerais:
v(t)=b4,t^4, x(t)=b20,t^5 + 10
Com v(5)=468,75 m/s, x(5)=478,75 m e em :

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