Huguinho, que é escoteiro, caminha 2,4 km a leste de seu acampamento, em seguida virase para a esquerda e caminha 2,4 km ao longo do arco de um círculo centrado no acampamento e, finalmente, caminha 1,5 km em direção ao acampamento.
a) Qual é o módulo do deslocamento? Qual a distância total percorrida?
b) Determine a orientação do vetor deslocamento e o seu ângulo com a direção latitudinal.

Passo 1

Beleza, aqui o Huguinho faz três partes de caminhada a partir do acampamento:
  1. 2,4 km para leste.
  2. 2,4 km seguindo um arco de círculo de centro no acampamento.
  3. 1,5 km “em direção” ao acampamento (ou seja, voltando radialmente).
Conteúdo que vamos usar:
• Vetores no plano (representação em coordenadas).
• Relação entre comprimento de arco e ângulo central: .
• Soma de vetores e cálculo de módulo e direção (trig).

Passo 2

Primeiro a gente descobre o ângulo do arco. Como o raio do círculo é a distância do acampamento até onde ele partiu (2,4 km) e o arco tem comprimento theta = sr = 2,42,4 = 1 radiano , dá:
Isso significa que ele girou 1 rad no sentido anti-horário a partir do leste.

Passo 3

Agora vamos achar as coordenadas do ponto depois do arco.
Num sistema com origem no acampamento e eixo r2 = (2,4costheta,;2,4sintheta) para leste, eixo para norte, após o arco de raio e ângulo , o ponto é

Passo 4

Na última perna ele caminha 1,5 km em direção ao acampamento, ou seja, exatamente na direção contrária ao vetor radial u = l(costheta,;sinthetar), .
O versor radial é
d3 = -1,5,u = l(-1,5costheta,;-1,5sinthetar)
então o deslocamento dessa etapa é
r3 = r2 + d3 = l((2,4-1,5)costheta,;(2,4-1,5)sinthetar) = (0,9costheta,;0,9sintheta)
Logo a posição final é

Passo 5

(a) Módulo do deslocamento (da origem até o ponto final)
|r3| = raiz(0,9costheta)^2 + (0,9sintheta)^2 = 0,9raizcos^2theta + sin^2theta = 0,9 km
Distância total percorrida é só soma das três pernas:
2,4 + 2,4 + 1,5 = 6,3 km

Passo 6

(b) Para achar a orientação do vetor deslocamento, a gente vê que alpha = arctan!l(0,9sintheta0,9costhetar) = arctan(tantheta) = theta = 1 rad forma ângulo 1 rad approx 57,3^circ com o eixo dado por
Convertendo em graus:
Ou seja, “57,3° ao norte do leste”.
O ângulo com a direção latitudinal (o próprio eixo leste-oeste) é justamente esse .

Resposta

a) Módulo do deslocamento: .
Distância total percorrida: .
b) Orientação: ( ) ao norte do leste;
ângulo com a direção latitudinal: .

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