Um feixe de elétrons é submetido, a partir do repouso, a uma diferença de potencial de 4,5 MeV em um acelerador linear. Determine:
(a) A energia adquirida pelos elétrons;
(b) A velocidade adquirida pelos elétrons.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um feixe de elétrons que está sendo acelerado por uma diferença de potencial de 4,5,MeV num acelerador linear. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
(a) A energia que os elétrons adquirem ao serem acelerados.
(b) A velocidade que os elétrons atingem após essa aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia elétrica e, depois, relacionar isso com a velocidade dos elétrons usando a física da matéria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia que os elétrons ganham quando passam por essa diferença de potencial.
Quando um elétron é acelerado por uma diferença de potencial V, a energia adquirida por ele é dada por:
E = q cdot V
Onde:
  • E é a energia adquirida,
  • q é a carga do elétron ( q = 1,602 times 10^-19,C),
  • V é a diferença de potencial.
No entanto, no enunciado já é dado que a diferença de potencial é de 4,5,MeV. Isso significa que a energia adquirida pelo elétron é exatamente 4,5,MeV.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade que os elétrons adquirem com essa energia. Para isso, precisamos considerar que a energia adquirida está na forma de energia cinética.
A energia cinética ( Ek) de uma partícula relativística é dada por:
Ek = (gamma - 1) m c^2
Onde:
  • gamma é o fator de Lorentz,
  • m é a massa do elétron ( m = 9,109 times 10^-31,kg),
  • c é a velocidade da luz ( c = 3 times 10^8,m/s).
Primeiro, precisamos calcular gamma:
gamma = 1 + Ekm c^2
Substituindo os valores:
gamma = 1 + 4,5 times 10^6,eV0,511 times 10^6,eV approx 1 + 8,816 = 9,816
Agora, podemos encontrar a velocidade usando a relação entre gamma e a velocidade:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2
Resolvendo para v:
v = c raiz1 - 1gamma^2 = 3 times 10^8,m/s times raiz1 - 1(9,816)^2
Calculando isso:
v approx 3 times 10^8,m/s times raiz1 - 0,0104 approx 3 times 10^8,m/s times 0,9948 approx 2,984 times 10^8,m/s

Resposta

(a) A energia adquirida pelos elétrons é de 4,5,MeV.
(b) A velocidade adquirida pelos elétrons é aproximadamente 2,984 times 10^8,m/s.

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