Se a aceleração em função do tempo de uma partícula ao longo do eixo é dada, em cada problema calcule: i) A posição em função do tempo; ii) A velocidade em função do tempo; iii) A posição, velocidade e aceleração da partícula no instante t=5 s
a(t)=5-3 t ; x(0)=5 ; v(0)=0;

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula em função do tempo ao longo de uma dimensão, com
a(t)=5-3t, x(0)=5, v(0)=0
Pede-se i) a posição x(t), ii) a velocidade v(t) e iii) os valores de x, v e a em t=5 s. Vamos usar integração, pois a(t)=dot v(t) e v(t)=dot x(t).

Passo 2

Para achar v(t), integramos a(t):
v(t) = integral a(t),dt = integral(5 - 3t),dt = 5t - 32t^2 + C1
Usando v(0)=0
0 = 5cdot0 - tfrac32cdot0^2 + C1 implies C1 = 0,
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v(t) = 5t - 32t^2

Passo 3

Agora integramos v(t) para obter x(t):
x(t) = integral v(t),dt = integrall(5t - tfrac32t^2r),dt = 52t^2 - 12t^3 + C2
Usando x(0)=5 vem
5 = 52cdot0^2 - 12cdot0^3 + C2 implies C2 = 5,
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x(t) = 52t^2 - 12t^3 + 5

Passo 4

Em t=5 s calculamos:
a(5) = 5 - 3cdot5 = -10;m/s^2,
v(5) = 5cdot5 - 32cdot5^2 = 25 - 37,5 = -12,5;m/s,
x(5) = 52cdot5^2 - 12cdot5^3 + 5 = 62,5 - 62,5 + 5 = 5;m

Resposta

i) x(t)=52t^2 - 12t^3 + 5
ii) v(t)=5t - 32t^2
iii) Em t=5 s:
x(5)=5;m, v(5)=-12,5;m/s, a(5)=-10;m/s^2

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