Consideremos as funções maior inteiro menor ou igual a distância de x ao inteiro mais próximo. Encontre a representação geométrica do gráfico das seguintes funções:
a) f(x)=x, para x in R
Passo 1
O enunciado define [x] como o maior inteiro menor ou igual a x e x como a distância de x ao inteiro mais próximo. Pede-se o gráfico de
f(x)=x, xinR
Este é um problema de funções periódicas e valor absoluto, pois a distância ao inteiro mais próximo se comporta como uma “onda triangular” de período 1.
Passo 2
Para cada xinR seja n=[x] e t=x-n. Então tin[0,1) é a parte fracionária de x. A distância de x ao inteiro mais próximo é
x=minl(t,;1-tr)
Passo 3
Dessa forma, dentro de cada intervalo [n,n+1] com ninZ, basta olhar o valor de tin[0,1]. Note que quando
0<= t<=12
temos t<=1-t, e quando
12<= t<=1
temos 1-t<= t.
Passo 4
Logo, para
Isto significa que em cada unidade inteira o gráfico é formado por dois segmentos de reta:
– de com inclinação ,
– de até com inclinação .
Passo 5
Como isso se repete para todo ninZ, o gráfico de f(x)=x é uma onda triangular periódica de período 1, com picos de altura tfrac12 em x=n+tfrac12 e vales de altura 0 em x=n.
Resposta
O gráfico de f(x)=x é a união, para cada ninZ, dos segmentos de reta que vão de