Se y=x^2 ln (5 x), encontre y^prime prime.

Passo 1

O enunciado dá
y = x^2ln(5x)
e pede a segunda derivada y''. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia para calcular y' e depois y''.

Passo 2

Defina
u = x^2, v = ln(5x)
Então
u' = 2x,
e, pela regra da cadeia,
v' = ddxln(5x)=15xcdot 5 = 1x

Passo 3

Aplica-se a regra do produto para obter
y' = u'v + uv' = 2xln(5x) + x^2cdot1x = 2xln(5x) + x

Passo 4

Opcionalmente, fatorando x:
y' = xl(2ln(5x) + 1r)

Passo 5

Para y'', derive y' = 2xln(5x) + x. Note que é soma de dois termos. No primeiro aplique produto novamente: seja u1=x e v1=ln(5x), temos
ddxl[xln(5x)r] = u1'v1+u1v1' = 1cdotln(5x) + xcdot1x = ln(5x)+1
Multiplicando por 2 e somando a derivada de x (que é 1),
y'' = 2l(ln(5x)+1r) + 1

Passo 6

Simplificando:
y'' = 2ln(5x) + 2 + 1 = 2ln(5x) + 3

Resposta

y'' = 2ln(5x) + 3

Exercícios relacionados