Se a aceleração em função do tempo de uma partícula ao longo do eixo é dada, em cada problema calcule: i) A posição em função do tempo; ii) A velocidade em função do tempo; iii) A posição, velocidade e aceleração da partícula no instante t=5 s
a(t)=20 sen 3 t ; x(10)=0 ; v(10)=5.

Passo 1

O enunciado dá a aceleração de uma partícula ao longo do eixo x como
a(t)=20sin(3t),
e pede:
i) a posição x(t);
ii) a velocidade v(t);
iii) x(5), v(5) e a(5), sabendo que
x(10)=0, v(10)=5
Para resolver, vamos integrar a(t) para obter v(t) (já que a=dot v) e depois integrar v(t) para obter x(t), usando as condições em t=10 para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos
a(t)=20sin(3t)
para achar v(t):
v(t)=integral 20sin(3t),dt =-203cos(3t)+C1

Passo 3

Aplicamos a condição v(10)=5. Substituindo t=10:
5 = v(10) = -203cos(30)+C1 Longrightarrow C1=5+203cos(30)

Passo 4

Agora integramos v(t) para achar x(t):
x(t)=integrall(-tfrac203cos(3t)+C1r),dt =-209sin(3t)+C1,t+C2

Passo 5

Usamos a condição x(10)=0. Substituindo t=10:
0 = -209sin(30)+C1cdot 10 +C2 Longrightarrow C2=-10,C1+209sin(30)

Passo 6

As expressões finais ficam então:
v(t)=-203cos(3t) +l(5+tfrac203cos(30)r),
x(t)=-209sin(3t) +l(5+tfrac203cos(30)r),t +l(-10l(5+tfrac203cos(30)r)+tfrac209sin(30)r)

Passo 7

No instante t=5:
a(5)=20sin(15),
v(5)=-203cos(15) +l(5+tfrac203cos(30)r),
x(5)=-209sin(15) +5l(5+tfrac203cos(30)r) +l(-10l(5+tfrac203cos(30)r)+tfrac209sin(30)r)
Opcionalmente, aproximando numericamente (ângulos em radianos):
cos(30)approx0,1564,;sin(30)approx -0,9878,;cos(15)approx -0,7660,;sin(15)approx0,6470,
obtém-se
C1approx6,0427, C2approx-62,623,
a(5)approx12,94, v(5)approx11,15, x(5)approx -33,85

Resposta

i)
v(t)=-203cos(3t)+l(5+tfrac203cos(30)r),
x(t)=-209sin(3t) +l(5+tfrac203cos(30)r),t -10l(5+tfrac203cos(30)r) +209sin(30)
ii) Conforme acima.
iii)
a(5)=20sin(15), v(5)=-203cos(15)+l(5+tfrac203cos(30)r),
x(5)=-209sin(15) +5l(5+tfrac203cos(30)r) -10l(5+tfrac203cos(30)r) +209sin(30)
Numéricos aproximados:
a(5)approx12,94, v(5)approx11,15, x(5)approx -33,85

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