A aceleração, no instante t, de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é sen^2(t) cos(t) m/s^2. Em t=0, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 m/s. Determine sua posição no instante t.

Passo 1

Então, galera! A gente tem aqui um problema de cinemática, que é o ramo da física que estuda o movimento. A questão nos dá a aceleração de um ponto em movimento ao longo de uma reta, junto com a posição e a velocidade inicial nesse instante . Nosso objetivo é descobrir onde esse ponto está em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Então, a fórmula para a velocidade será:
onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.

Passo 3

Vamos calcular a integral da aceleração:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Seja , então . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que em , a velocidade . Vamos substituir:
Então, a expressão para a velocidade é:

Passo 5

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.

Passo 6

Vamos calcular a integral da velocidade:
Separando a integral:
Para resolver , usamos uma identidade trigonométrica:
Então:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos substituição novamente. Seja , então :
Então, juntando tudo:

Passo 7

Voltando à expressão de :
Simplificando:
Usando a condição inicial , vamos encontrar :
Então, a expressão final para a posição é:

Resposta

A posição do ponto no instante é dada por:

Exercícios relacionados