A aceleração, no instante
, de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é
.
, o ponto está na origem e sua velocidade é
. Determine sua posição no instante
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem aqui um problema de cinemática, que é o ramo da física que estuda o movimento. A questão nos dá a aceleração de um ponto em movimento ao longo de uma reta, junto com a posição e a velocidade inicial nesse instante
. Nosso objetivo é descobrir onde esse ponto está em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Para encontrar a velocidade a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Então, a fórmula para a velocidade
será:
onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a integral da aceleração:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que em
, a velocidade
. Vamos substituir:
Então, a expressão para a velocidade é:
Passo 5
Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial da posição.
Passo 6
Vamos calcular a integral da velocidade:
Separando a integral:
Para resolver
, usamos uma identidade trigonométrica:
Então:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos substituição novamente. Seja
, então
:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Simplificando:
Usando a condição inicial
, vamos encontrar
:
Então, a expressão final para a posição é:
Resposta
A posição do ponto no instante
é dada por: