Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral sen^4(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem o problema de calcular a integral de integral sen^4(x) cos^2(x) , dx. Isso envolve funções trigonométricas, especificamente potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica básica: sen^2(x) + cos^2(x) = 1. A partir dessa identidade, podemos expressar sen^2(x) ou cos^2(x) em termos da outra função.

Passo 3

Vamos reescrever sen^4(x) como (sen^2(x))^2. Usando a identidade que mencionamos, temos:
sen^2(x) = 1 - cos^2(x)
Então:
sen^4(x) = (1 - cos^2(x))^2

Passo 4

Agora substituímos sen^4(x) na integral:
integral sen^4(x) cos^2(x) , dx = integral (1 - cos^2(x))^2 cos^2(x) , dx

Passo 5

Vamos expandir o termo (1 - cos^2(x))^2:
(1 - cos^2(x))^2 = 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)
Substituindo de volta na integral:
integral (1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) cos^2(x) , dx

Passo 6

Distribuímos cos^2(x) dentro dos parênteses:
integral (cos^2(x) - 2cos^4(x) + cos^6(x)) , dx
Agora, temos três integrais separadas:
integral cos^2(x) , dx - 2integral cos^4(x) , dx + integral cos^6(x) , dx

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais usando a identidade de redução para potências pares de cosseno:
cos^2n(x) = 12^2n binom2nn + outros termos com múú
No entanto, para simplificar, usaremos a identidade:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
E aplicaremos a mesma lógica para cos^4(x) e cos^6(x).

Passo 8

Primeiro, calculemos integral cos^2(x) , dx:
integral cos^2(x) , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2x) , dx
Integrando:
12x + 14 sin(2x) + C

Passo 9

Agora, integral cos^4(x) , dx:
Usamos a identidade cos^4(x) = (1 + cos(2x)2)^2 = 3 + 4cos(2x) + cos(4x)8
Então:
integral cos^4(x) , dx = integral 38 + 4cos(2x)8 + cos(4x)8 , dx = 38x + sin(2x)4 + sin(4x)32 + C

Passo 10

Por fim, integral cos^6(x) , dx:
Usamos a identidade cos^6(x) = (1 + cos(2x)2)^3 = 10 + 15cos(2x) + 6cos(4x) + cos(6x)32
Então:
integral cos^6(x) , dx = integral 1032 + 15cos(2x)32 + 6cos(4x)32 + cos(6x)32 , dx = 516x + 15sin(2x)64 + 3sin(4x)64 + sin(6x)192 + C

Resposta

Juntando tudo, a integral original fica:
integral sen^4(x) cos^2(x) , dx = (12x + 14sin(2x)) - 2(38x + sin(2x)4 + sin(4x)32) + (516x + 15sin(2x)64 + 3sin(4x)64 + sin(6x)192) + C
Simplificando os termos:
= 12x + 14sin(2x) - 34x - sin(2x)2 - sin(4x)16 + 516x + 15sin(2x)64 + 3sin(4x)64 + sin(6x)192 + C
Agrupando os coeficientes:
= (12 - 34 + 516)x + (14 - 12 + 1564)sin(2x) + (-116 + 364)sin(4x) + sin(6x)192 + C
Calculando:
= (8 - 12 + 5)16x + (16 - 32 + 15)64sin(2x) + (-4 + 3)64sin(4x) + sin(6x)192 + C
= 116x - 164sin(2x) - 164sin(4x) + sin(6x)192 + C
Portanto, a resposta final é:
integral sen^4(x) cos^2(x) , dx = x16 - sin(2x)64 - sin(4x)64 + sin(6x)192 + C

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