Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, então a gente tem o problema de calcular a integral de
. Isso envolve funções trigonométricas, especificamente potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica básica:
. A partir dessa identidade, podemos expressar
ou
em termos da outra função.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Usando a identidade que mencionamos, temos:
Então:
Passo 4
Agora substituímos
na integral:
Passo 5
Vamos expandir o termo
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Distribuímos
dentro dos parênteses:
Agora, temos três integrais separadas:
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais usando a identidade de redução para potências pares de cosseno:
No entanto, para simplificar, usaremos a identidade:
E aplicaremos a mesma lógica para
e
.
Passo 8
Primeiro, calculemos
:
Integrando:
Passo 9
Agora,
:
Usamos a identidade
Então:
Usamos a identidade
Então:
Passo 10
Por fim,
:
Usamos a identidade
Então:
Usamos a identidade
Então:
Resposta
Juntando tudo, a integral original fica:
Simplificando os termos:
Agrupando os coeficientes:
Calculando:
Portanto, a resposta final é: