Se
é uma função contínua e injetora, satisfazendo
. Então
é estritamente crescente neste intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função contínua e injetora definida no intervalo
, e sabe que
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é estritamente crescente nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de continuidade e injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função contínua não tem “saltos” ou “quebras” no seu gráfico. Isso é importante porque garante que, ao movermos no intervalo
, a função muda de forma suave.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetora se cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada. Em outras palavras, se
implica que
. Isso evita que a função “volte” e atinja o mesmo valor novamente no intervalo.
Passo 4
Sabemos que
. Isso nos dá uma direção: a função começa menor em
e termina maior em
. Queremos provar que, para qualquer
em
, então
. Ou seja, a função está sempre subindo.
Passo 5
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que não é estritamente crescente. Isso significaria que existe pelo menos um par de pontos
onde
. Mas isso violaria a injetividade, porque poderíamos ter
sem que
, o que não pode acontecer.
Passo 6
Além disso, como a função é contínua e injetora no intervalo
, ela não pode ter pontos de máximo ou mínimo internos que violariam o comportamento crescente. Assim, a única possibilidade é que a função seja sempre aumentando de
para
.
Resposta
Portanto, a função
é estritamente crescente no intervalo
.