Se f: [a, b] -> é uma função contínua e injetora, satisfazendo f(a) < f(b). Então f é estritamente crescente neste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função contínua e injetora definida no intervalo , e sabe que . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é estritamente crescente nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de continuidade e injetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função contínua não tem “saltos” ou “quebras” no seu gráfico. Isso é importante porque garante que, ao movermos no intervalo , a função muda de forma suave.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma função é injetora se cada valor de saída corresponde a um único valor de entrada. Em outras palavras, se implica que . Isso evita que a função “volte” e atinja o mesmo valor novamente no intervalo.

Passo 4

Sabemos que . Isso nos dá uma direção: a função começa menor em e termina maior em . Queremos provar que, para qualquer em , então . Ou seja, a função está sempre subindo.

Passo 5

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que não é estritamente crescente. Isso significaria que existe pelo menos um par de pontos onde . Mas isso violaria a injetividade, porque poderíamos ter sem que , o que não pode acontecer.

Passo 6

Além disso, como a função é contínua e injetora no intervalo , ela não pode ter pontos de máximo ou mínimo internos que violariam o comportamento crescente. Assim, a única possibilidade é que a função seja sempre aumentando de para .

Resposta

Portanto, a função é estritamente crescente no intervalo .

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