Determine, se existirem, assíntotas horizontais e verticais da função
f(x)=(x^2+x-6)/(x^2-4)
No caso de existirem assíntotas verticais, determine o comportamento da função a esquerda e direita da mesma. Justifique analiticamente a sua resposta.

Passo 1

Então, temos que analisar a função . A missão aqui é encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar essas assíntotas observando o comportamento do numerador e do denominador da fração.

Passo 2

Primeiro, vamos buscar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero, porque aí a função “explode” para infinito. Então, vamos resolver .

Passo 3

Resolvendo , temos:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em e .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos. Substituindo no numerador:
E substituindo :
Isso significa que em , tanto o numerador quanto o denominador são zero, então não há assíntota vertical nesse ponto. Mas em , somente o denominador é zero, então existe uma assíntota vertical em .

Passo 5

Vamos agora analisar o comportamento da função perto de . Para isso, vamos observar os limites à esquerda e à direita de .
  • À esquerda de -2 ( ):
    Substituindo valores próximos a -2, percebemos que o denominador se aproxima de zero negativo e o numerador se aproxima de -4. Então, o limite tende a .
  • À direita de -2 ( ):
    Aqui, o denominador se aproxima de zero positivo e o numerador ainda se aproxima de -4. Portanto, o limite tende a .

Passo 6

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
  • O grau do numerador é 2.
  • O grau do denominador também é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes principais. Neste caso, ambos os coeficientes principais são 1.
Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em , com o limite tendendo a à esquerda e à direita. Além disso, há uma assíntota horizontal em .

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