Determine, se existirem, assíntotas horizontais e verticais da função
No caso de existirem assíntotas verticais, determine o comportamento da função a esquerda e direita da mesma. Justifique analiticamente a sua resposta.
Passo 1
Então, temos que analisar a função
. A missão aqui é encontrar as assíntotas horizontais e verticais dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar essas assíntotas observando o comportamento do numerador e do denominador da fração.
Passo 2
Primeiro, vamos buscar as assíntotas verticais. Essas assíntotas ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero, porque aí a função “explode” para infinito. Então, vamos resolver
.
Passo 3
Resolvendo
, temos:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos. Substituindo
no numerador:
E substituindo
:
Isso significa que em
, tanto o numerador quanto o denominador são zero, então não há assíntota vertical nesse ponto. Mas em
, somente o denominador é zero, então existe uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Vamos agora analisar o comportamento da função perto de
. Para isso, vamos observar os limites à esquerda e à direita de
.
-
À esquerda de -2 (
):
Substituindo valores próximos a -2, percebemos que o denominador se aproxima de zero negativo e o numerador se aproxima de -4. Então, o limite tende a. -
À direita de -2 (
):
Aqui, o denominador se aproxima de zero positivo e o numerador ainda se aproxima de -4. Portanto, o limite tende a.
Passo 6
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
- O grau do numerador é 2.
- O grau do denominador também é 2.
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes principais. Neste caso, ambos os coeficientes principais são 1.
Então, a assíntota horizontal é:
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
, com o limite tendendo a
à esquerda e
à direita. Além disso, há uma assíntota horizontal em
.