Mostre que:
sen(x) - x + x^3/6 - x^5/120 <= x^6/6!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a expressão é menor ou igual a . Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisaremos entender como a série de Taylor da função seno se desenvolve e como podemos usar o termo de resto para estabelecer essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de (também chamada de série de Maclaurin) é uma forma de aproximar a função usando potências de . Para a função , a série de Taylor é:
Isso significa que podemos aproximar cortando a série após certos termos e considerar os termos restantes como erro ou resto.

Passo 3

Vamos considerar a aproximação de até o termo de :
A diferença entre a função real e essa aproximação é o erro, que podemos representar como:

Passo 4

Agora, queremos mostrar que esse erro em módulo é menor ou igual a . Observando o termo seguinte na série de Taylor, que é , percebemos que para pequeno, esse termo domina o erro. Portanto:

Passo 5

Para finalizar, notamos que é de fato menor ou igual a para próximo de zero, já que a potência de no numerador cresce mais lentamente que no denominador factorial. Assim, concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que é de fato menor ou igual a .

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