Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a expressão
é menor ou igual a
. Vamos usar conceitos de séries de Taylor para resolver isso. Precisaremos entender como a série de Taylor da função seno se desenvolve e como podemos usar o termo de resto para estabelecer essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de
(também chamada de série de Maclaurin) é uma forma de aproximar a função usando potências de
. Para a função
, a série de Taylor é:
Isso significa que podemos aproximar
cortando a série após certos termos e considerar os termos restantes como erro ou resto.
Passo 3
Vamos considerar a aproximação de
até o termo de
:
A diferença entre a função real
e essa aproximação é o erro, que podemos representar como:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que esse erro em módulo é menor ou igual a
. Observando o termo seguinte na série de Taylor, que é
, percebemos que para
pequeno, esse termo domina o erro. Portanto:
Passo 5
Para finalizar, notamos que
é de fato menor ou igual a
para
próximo de zero, já que a potência de
no numerador cresce mais lentamente que no denominador factorial. Assim, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
é de fato menor ou igual a
.