A aceleração de uma motocicleta é dada por
, onde
e
. A motocicleta está em repouso na origem no instante
.
a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.
b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.
a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.
b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a aceleração de uma motocicleta, que é dada pela fórmula $ a_{x}(t) = N t - M t^{2} $. Aqui, $ N = 1,5 , \mathrm{m/s^{3}} $ e $ M = 120 , \mathrm{mm/s^{4}} $ (que vamos converter para metros para facilitar). A moto começa em repouso na origem quando $ t = 0 $. Vamos precisar entender de Cinemática, especialmente das relações entre aceleração, velocidade e posição. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos converter $ M $ para metros para que as unidades fiquem consistentes. Sabemos que $ 1 , \mathrm{mm} = 0,001 , \mathrm{m} $, então:
Agora, nossa fórmula de aceleração fica:
Passo 3
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A relação é:
Como a moto está em repouso no tempo $ t = 0 $, a constante de integração $ C = 0 $. Então,
Passo 4
Vamos fazer a integração termo a termo:
Então, a velocidade é:
Passo 5
Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, integramos a velocidade em relação ao tempo:
Como a moto começa na origem quando $ t = 0 $, a constante $ D = 0 $. Então,
Passo 6
Integrando termo a termo:
Então, a posição é:
Passo 7
Agora, resumindo a parte a):
- Velocidade em função do tempo:
- Posição em função do tempo:
Passo 8
Passando para a parte b), queremos encontrar a velocidade máxima que a motocicleta pode atingir. Para isso, vamos analisar a função de velocidade $ v(t) $ e encontrar seu ponto máximo.
Sabemos que o máximo ou mínimo de uma função ocorre onde a derivada é zero. Então, vamos derivar $ v(t) $ para encontrar $ a(t) $:
Derivando em relação a $ t $:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Factorando $ t $:
Então, temos $ t = 0 $ ou $ t = \frac{1,5}{0,120} = 12,5 $ segundos.
Passo 9
Agora, vamos verificar qual desses tempos corresponde a um máximo. Já sabemos que na origem ($ t = 0 $) a velocidade é zero. Portanto, o ponto de interesse é $ t = 12,5 $ segundos.
Vamos substituir esse valor na função de velocidade $ v(t) $ para encontrar a velocidade máxima:
Calculando:
Resposta
a) A velocidade em função do tempo é $ v(t) = 0,75 , t^{2} - 0,040 , t^{3} , \mathrm{m/s} $ e a posição em função do tempo é $ x(t) = 0,25 , t^{3} - 0,010 , t^{4} , \mathrm{m} $.
b) A velocidade máxima que a motocicleta pode atingir é aproximadamente $ 39,06 , \mathrm{m/s} $ atingida aos $ 12,5 $ segundos.