Na ausência de carga elétrica e de corrente elétrica num sistema, as equações de Maxwell são escritas como:
r nabla cdot E=0, nabla cdot B=0, nabla times E=-partial Bpartial t, nabla times B=mu0 epsilon0 partial Epartial t,
constituindo um conjunto de equações diferenciais acopladas de primeira ordem para E e B. (a) Aplique o operador rotacional à lei de Faraday nas condições deste exercício e encontre a equação de onda desacoplada para o campo elétrico. (b) Repita o procedimento, aplicando o operador rotacional à lei de Ampère-Maxwell e encontre a equação de onda desacoplada para o campo magnético.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre as equações de Maxwell na ausência de carga e corrente elétrica. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo, especialmente estudando ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente vai precisar usar conceitos como o operador rotacional (ou “curl”) e algumas identidades vetoriais para resolver as partes (a) e (b) do exercício. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). A gente precisa aplicar o operador rotacional na lei de Faraday, que é uma das equações de Maxwell fornecidas:
nabla times E = -partial Bpartial t
Nosso objetivo é encontrar uma equação de onda que descreva o campo elétrico E de forma desacoplada.

Passo 3

Para isso, vamos aplicar o operador rotacional novamente em ambos os lados da equação de Faraday. Isso significa que vamos calcular nabla times (nabla times E):
nabla times (nabla times E) = nabla times (-partial Bpartial t)

Passo 4

Agora, vamos usar uma identidade vetorial importante que nos diz que:
nabla times (nabla times V) = nabla(nabla cdot V) - nabla^2 V
Aplicando isso ao nosso caso, onde V = E:
nabla(nabla cdot E) - nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)

Passo 5

Mas, olhando para as equações de Maxwell fornecidas, sabemos que nabla cdot E = 0. Isso simplifica nossa expressão para:
- nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B)
Podemos cancelar o sinal negativo dos dois lados:
nabla^2 E = partialpartial t (nabla times B)

Passo 6

Agora, vamos lembrar da outra equação de Maxwell que relaciona nabla times B com partial Epartial t:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Substituindo isso na nossa equação:
nabla^2 E = partialpartial t ( mu0 epsilon0 partial Epartial t )

Passo 7

Simplificando o lado direito, temos:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
Essa é a equação de onda para o campo elétrico E no vácuo. Ela mostra como as variações espaciais de E estão relacionadas às suas variações temporais, caracterizando a propagação de ondas eletromagnéticas.

Resposta

A equação de onda desacoplada para o campo elétrico é:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2

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