Na ausência de carga elétrica e de corrente elétrica num sistema, as equações de Maxwell são escritas como:
constituindo um conjunto de equações diferenciais acopladas de primeira ordem para
e
. (a) Aplique o operador rotacional à lei de Faraday nas condições deste exercício e encontre a equação de onda desacoplada para o campo elétrico. (b) Repita o procedimento, aplicando o operador rotacional à lei de Ampère-Maxwell e encontre a equação de onda desacoplada para o campo magnético.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre as equações de Maxwell na ausência de carga e corrente elétrica. Isso está dentro da matéria de Eletromagnetismo, especialmente estudando ondas eletromagnéticas no vácuo. A gente vai precisar usar conceitos como o operador rotacional (ou “curl”) e algumas identidades vetoriais para resolver as partes (a) e (b) do exercício. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). A gente precisa aplicar o operador rotacional na lei de Faraday, que é uma das equações de Maxwell fornecidas:
Nosso objetivo é encontrar uma equação de onda que descreva o campo elétrico
de forma desacoplada.
Passo 3
Para isso, vamos aplicar o operador rotacional novamente em ambos os lados da equação de Faraday. Isso significa que vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos usar uma identidade vetorial importante que nos diz que:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
:
Passo 5
Mas, olhando para as equações de Maxwell fornecidas, sabemos que
. Isso simplifica nossa expressão para:
Podemos cancelar o sinal negativo dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos lembrar da outra equação de Maxwell que relaciona
com
:
Substituindo isso na nossa equação:
Passo 7
Simplificando o lado direito, temos:
Essa é a equação de onda para o campo elétrico
no vácuo. Ela mostra como as variações espaciais de
estão relacionadas às suas variações temporais, caracterizando a propagação de ondas eletromagnéticas.
Resposta
A equação de onda desacoplada para o campo elétrico é: