Um campo magnético dentro de um fio que transporta uma corrente elétrica em seu volume é dado por:
B=mu0 i r2 pi r0^2 phi,
onde r0 é o raio do fio e r a distância até o eixo do mesmo. Aplique a lei de Ampère-Maxwell na forma diferencial e determine a densidade de corrente do fio.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que dentro de um fio (raio B(r)=mu0,i,r2pi,r0^2;hatphi, ) a densidade do campo magnético é
nablatimesvec B ;=;mu0,vec J ;+;mu0,varepsilon0,partial vec Epartial t
e a missão é usar a forma diferencial da lei de Ampère–Maxwell
para achar a densidade de corrente . Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial (rotacional em coordenadas cilíndricas) e entender que, em corrente estacionária, a parte de deslocamento some.

Passo 2

Como a corrente é constante no tempo (regime estacionário), a derivada temporal do campo elétrico é zero, logo
nablatimesvec B ;=;mu0,vec J
Isso significa que pra achar basta calcular e dividir por .

Passo 3

Na geometria cilíndrica, se só existe componente azimutal (nablatimesvec B)z =1r,ddrl(r,Bphi(r)r) , o rotacional tem só componente axial ( ddr!(mu0,i,r^22pi,r0^2) =mu0,i2pi,r0^2;2r =mu0,i,rpi,r0^2 ) dada por
(nablatimesvec B)z =1r,mu0,i,rpi,r0^2 =mu0,ipi,r0^2
Aqui . Então
  1. .
  2. Derivando em :
  1. Dividindo por :

Passo 4

Agora vem a parte direta:
nablatimesvec B = mu0,vec J longrightarrow vec J = 1mu0,(nablatimesvec B)
Como vec J = 1mu0;hat z;mu0,ipi,r0^2 =ipi,r0^2;hat z só tem componente igual a , temos

Resposta

boxedvec J = ipi,r0^2;hat z, para r<= r0

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