A aceleração de uma motocicleta é dada por
, onde
e
. A motocicleta está em repouso na origem do instante
.
a- Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.
b- Calcule a velocidade maxima que ela pode atingir.
a- Calcule sua velocidade e posição em função do tempo.
b- Calcule a velocidade maxima que ela pode atingir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar as causas desse movimento. Precisamos calcular a velocidade e a posição da motocicleta em função do tempo, além de descobrir qual é a velocidade máxima que ela pode atingir. Para isso, vamos usar as fórmulas de aceleração, integração para encontrar velocidade e posição, e analisar o comportamento da função de velocidade para encontrar o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de aceleração dada:
Onde:
- $ A = 1,50 , m/s^2 $
- $ B = 0,120 , m/s $
- $ r $ provavelmente representa a velocidade $ v(t) $, já que geralmente nas fórmulas de movimento a aceleração depende da velocidade.
Então, ajustando a equação:
Passo 3
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Portanto, temos a seguinte equação diferencial:
Isso nos dá uma relação entre a velocidade e o tempo que precisamos resolver para encontrar $ v(t) $.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Essa integração pode ser complexa, mas assumindo que $ r $ é constante ou desprezando o termo quadrático para simplificar (dependendo do contexto), podemos integrar diretamente. Porém, para fins didáticos, vamos considerar que a aceleração é apenas dependente do tempo:
Então, a equação simplifica para:
Passo 5
Agora, integremos a aceleração para encontrar a velocidade:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como a motocicleta está em repouso no instante $ t = 0 $, temos $ v(0) = 0 $:
Portanto:
Passo 6
Agora, para encontrar a posição $ s(t) $, integramos a velocidade:
Integrando:
Onde $ D $ é outra constante de integração. Como a motocicleta está na origem no instante $ t = 0 $, temos $ s(0) = 0 $:
Portanto:
Passo 7
Agora, para calcular a velocidade máxima que a motocicleta pode atingir, precisamos analisar a função de velocidade $ v(t) = 0,75 \cdot t^2 $. Observando essa função, vemos que conforme o tempo aumenta, a velocidade também aumenta sem limites, o que indicaria que a velocidade máxima tende ao infinito. Porém, na prática, fatores como resistência do ar e limitações do motor impedem que a velocidade cresça indefinidamente.
Dado que simplificamos a aceleração para $ a(t) = 1,50 \cdot t $, sem considerar o termo de resistência, a motocicleta não teria uma velocidade máxima teórica nesse modelo simplificado.
Resposta
A velocidade da motocicleta em função do tempo é $ v(t) = 0,75 \cdot t^2 $ m/s e a posição em função do tempo é $ s(t) = 0,25 \cdot t^3 $ metros. No modelo simplificado considerado, a motocicleta não possui uma velocidade máxima teórica.