A aceleração de uma partícula é dada por
, com velocidade inicial
e posição
. Determine a função posição dessa partícula para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a aceleração de uma partícula representada pela função vetorial
. Sabemos também que, no tempo inicial
, a velocidade é
e a posição é
. Nosso objetivo é encontrar a função posição
para
. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, em seguida, integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para obter a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Isso significa que cada componente da aceleração será integrada separadamente.
Passo 3
Primeiro, integramos a componente x da aceleração:
A integral de
é uma função conhecida na matemática, cujo resultado é
. Então, a componente x da velocidade será:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, integramos a componente y da aceleração:
A integral de
é
. Portanto, a componente y da velocidade será:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração
e
. Sabemos que em
, a velocidade é
.
Para a componente x:
Para a componente y:
Portanto, a função velocidade é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição
integrando a função velocidade. Isso significa que cada componente da velocidade será integrada separadamente.
Passo 7
Primeiro, integramos a componente x da velocidade:
A integral de
é
. Então, a componente x da posição será:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, integramos a componente y da velocidade:
A integral de
é
. Portanto, a componente y da posição será:
onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração
e
. Sabemos que em
, a posição é
.
Para a componente x:
Para a componente y:
Portanto, a função posição é:
Resposta
A função posição da partícula para
é: