A aceleração de uma partícula é dada por alpha^prime prime(t)=lang<=11+t^2, -1(1+t)^2rang<=, com velocidade inicial alpha^prime(0)=lang<= 0,1rang<= e posição alpha(0)=(0,0). Determine a função posição dessa partícula para t>0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a aceleração de uma partícula representada pela função vetorial alpha''(t)=lang<=11+t^2, -1(1+t)^2rang<=. Sabemos também que, no tempo inicial t=0, a velocidade é alpha^prime(0)=lang<= 0,1rang<= e a posição é alpha(0)=(0,0). Nosso objetivo é encontrar a função posição alpha(t) para t > 0. Para isso, vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, em seguida, integrar a velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade alpha'(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para obter a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. Isso significa que cada componente da aceleração será integrada separadamente.

Passo 3

Primeiro, integramos a componente x da aceleração:
integral 11 + t^2 dt
A integral de 11 + t^2 é uma função conhecida na matemática, cujo resultado é arctan(t). Então, a componente x da velocidade será:
vx(t) = arctan(t) + C1
onde C1 é a constante de integração.

Passo 4

Agora, integramos a componente y da aceleração:
integral -1(1 + t)^2 dt
A integral de -1(1 + t)^2 é 11 + t. Portanto, a componente y da velocidade será:
vy(t) = 11 + t + C2
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração C1 e C2. Sabemos que em t=0, a velocidade é alpha^prime(0)=lang<= 0,1rang<=.
Para a componente x:
vx(0) = arctan(0) + C1 = 0 + C1 = 0 implies C1 = 0
Para a componente y:
vy(0) = 11 + 0 + C2 = 1 + C2 = 1 implies C2 = 0
Portanto, a função velocidade é:
alpha'(t) = lang<= arctan(t), 11 + t rang<=

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição alpha(t) integrando a função velocidade. Isso significa que cada componente da velocidade será integrada separadamente.

Passo 7

Primeiro, integramos a componente x da velocidade:
integral arctan(t) dt
A integral de arctan(t) é t cdot arctan(t) - 12 ln(1 + t^2). Então, a componente x da posição será:
x(t) = t cdot arctan(t) - 12 ln(1 + t^2) + C3
onde C3 é a constante de integração.

Passo 8

Agora, integramos a componente y da velocidade:
integral 11 + t dt
A integral de 11 + t é ln(1 + t). Portanto, a componente y da posição será:
y(t) = ln(1 + t) + C4
onde C4 é outra constante de integração.

Passo 9

Usamos as condições iniciais para encontrar as constantes de integração C3 e C4. Sabemos que em t=0, a posição é alpha(0)=(0,0).
Para a componente x:
x(0) = 0 cdot arctan(0) - 12 ln(1 + 0^2) + C3 = 0 - 0 + C3 = 0 implies C3 = 0
Para a componente y:
y(0) = ln(1 + 0) + C4 = 0 + C4 = 0 implies C4 = 0
Portanto, a função posição é:
alpha(t) = lang<= t cdot arctan(t) - 12 ln(1 + t^2), ln(1 + t) rang<=

Resposta

A função posição da partícula para t > 0 é:
alpha(t) = lang<= t cdot arctan(t) - 12 ln(1 + t^2), ln(1 + t) rang<=

Exercícios relacionados