A curva
é conhecida como espiral logarítmica. Encontre o ângulo entre a velocidade e a aceleração dessa curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva chamada espiral logarítmica, dada por
. Precisamos encontrar o ângulo entre a velocidade e a aceleração dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Usando a regra do produto para derivadas:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a derivada da velocidade. Vamos derivar cada componente de
:
Aplicando novamente a regra do produto:
Então, o vetor aceleração é:
Passo 4
Agora que temos os vetores velocidade
e aceleração
, vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
:
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo
, usamos a função inversa do cosseno:
Resposta
O ângulo entre a velocidade e a aceleração da curva é de
.