A curva alpha(t)=(e^t cos (t), e^t sen(t)) é conhecida como espiral logarítmica. Encontre o ângulo entre a velocidade e a aceleração dessa curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva chamada espiral logarítmica, dada por alpha(t) = (e^t cos(t), e^t sin(t)). Precisamos encontrar o ângulo entre a velocidade e a aceleração dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de alpha(t):
alpha'(t) = (ddt(e^t cos(t)), ddt(e^t sin(t)))
Usando a regra do produto para derivadas:
ddt(e^t cos(t)) = e^t cos(t) - e^t sin(t)
ddt(e^t sin(t)) = e^t sin(t) + e^t cos(t)
Então, o vetor velocidade é:
alpha'(t) = (e^t (cos(t) - sin(t)), e^t (sin(t) + cos(t)))

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração, que é a derivada da velocidade. Vamos derivar cada componente de alpha'(t):
alpha''(t) = (ddt(e^t (cos(t) - sin(t))), ddt(e^t (sin(t) + cos(t))))
Aplicando novamente a regra do produto:
ddt(e^t (cos(t) - sin(t))) = e^t (cos(t) - sin(t)) + e^t (-sin(t) - cos(t)) = -2 e^t sin(t)
ddt(e^t (sin(t) + cos(t))) = e^t (sin(t) + cos(t)) + e^t (cos(t) - sin(t)) = 2 e^t cos(t)
Então, o vetor aceleração é:
alpha''(t) = (-2 e^t sin(t), 2 e^t cos(t))

Passo 4

Agora que temos os vetores velocidade alpha'(t) e aceleração alpha''(t), vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = alpha'(t) cdot alpha''(t)|alpha'(t)| , |alpha''(t)|
Primeiro, vamos calcular o produto escalar alpha'(t) cdot alpha''(t):
alpha'(t) cdot alpha''(t) = (e^t (cos(t) - sin(t))) (-2 e^t sin(t)) + (e^t (sin(t) + cos(t))) (2 e^t cos(t))
= -2 e^2t (cos(t) - sin(t)) sin(t) + 2 e^2t (sin(t) + cos(t)) cos(t)
= -2 e^2t cos(t) sin(t) + 2 e^2t sin^2(t) + 2 e^2t sin(t) cos(t) + 2 e^2t cos^2(t)
= 2 e^2t (sin^2(t) + cos^2(t)) = 2 e^2t (1) = 2 e^2t
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores:
|alpha'(t)| = raiz(e^t (cos(t) - sin(t)))^2 + (e^t (sin(t) + cos(t)))^2
= e^t raiz(cos(t) - sin(t))^2 + (sin(t) + cos(t))^2
= e^t raiz2 cos^2(t) + 2 sin^2(t) = e^t raiz2 (cos^2(t) + sin^2(t)) = e^t raiz2
|alpha''(t)| = raiz(-2 e^t sin(t))^2 + (2 e^t cos(t))^2 = 2 e^t raizsin^2(t) + cos^2(t) = 2 e^t

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = 2 e^2te^t raiz2 cdot 2 e^t = 2 e^2t2 raiz2 e^2t = 1raiz2
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1(1raiz2) = 45^circ

Resposta

O ângulo entre a velocidade e a aceleração da curva é de 45^circ.

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