Dada a curva
, encontre:
O ângulo entre a velocidade e a aceleração;
O ângulo entre a velocidade e a aceleração;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por
e precisa encontrar o ângulo entre a velocidade e a aceleração nessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para achar a velocidade e a aceleração, e o produto escalar para calcular o ângulo entre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da curva. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Derivando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da curva, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Derivando cada termo:
Passo 4
Para achar o ângulo entre a velocidade
e a aceleração
, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Como o produto escalar deu zero, isso já nos indica que o ângulo entre os vetores é de
. Mas vamos confirmar isso calculando as magnitudes dos vetores.
Magnitude da velocidade:
Magnitude da aceleração:
Passo 6
Aplicando na fórmula do ângulo:
Resposta
O ângulo entre a velocidade e a aceleração é de
.