Dada a curva alpha(t)=(4 cos (t), 4 sen(t), 3 t), encontre:
O ângulo entre a velocidade e a aceleração;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por alpha(t) = (4 cos(t), 4 sin(t), 3t) e precisa encontrar o ângulo entre a velocidade e a aceleração nessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para achar a velocidade e a aceleração, e o produto escalar para calcular o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da curva. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, vamos derivar cada componente de alpha(t) em relação a t.
v(t) = alpha'(t) = ( ddt[4 cos(t)], ddt[4 sin(t)], ddt[3t] )
Derivando cada termo:
v(t) = (-4 sin(t), 4 cos(t), 3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da curva, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
a(t) = v'(t) = ( ddt[-4 sin(t)], ddt[4 cos(t)], ddt[3] )
Derivando cada termo:
a(t) = (-4 cos(t), -4 sin(t), 0)

Passo 4

Para achar o ângulo entre a velocidade v(t) e a aceleração a(t), vamos usar a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = v cdot a||v|| , ||a||
Primeiro, calculamos o produto escalar v cdot a:
v(t) cdot a(t) = (-4 sin(t))(-4 cos(t)) + (4 cos(t))(-4 sin(t)) + (3)(0) = 16 sin(t)cos(t) - 16 sin(t)cos(t) + 0 = 0

Passo 5

Como o produto escalar deu zero, isso já nos indica que o ângulo entre os vetores é de 90^circ. Mas vamos confirmar isso calculando as magnitudes dos vetores.
Magnitude da velocidade:
||v(t)|| = raiz(-4 sin(t))^2 + (4 cos(t))^2 + 3^2 = raiz16 sin^2(t) + 16 cos^2(t) + 9 = raiz16(sin^2(t)+cos^2(t)) + 9 = raiz16 cdot 1 + 9 = raiz25 = 5
Magnitude da aceleração:
||a(t)|| = raiz(-4 cos(t))^2 + (-4 sin(t))^2 + 0^2 = raiz16 cos^2(t) + 16 sin^2(t) = raiz16(cos^2(t)+sin^2(t)) = raiz16 cdot 1 = 4

Passo 6

Aplicando na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 05 times 4 = 0 implies theta = cos^-1(0) = 90^circ

Resposta

O ângulo entre a velocidade e a aceleração é de 90^circ.

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