Dada a curva alpha(t)=(4 cos (t), 4 sen(t), 3 t), encontre:
O vetor normal unitário.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente encontre o vetor normal unitário da curva dada por alpha(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3 t). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. Isso significa que precisamos derivar a função alpha(t) em relação a t.
alpha'(t) = ( ddt[4 cos t], ddt[4 sin t], ddt[3 t] ) = (-4 sin t, 4 cos t, 3)

Passo 3

Agora, vamos derivar o vetor tangente alpha'(t) para obter o vetor acelerador. Esse vetor é essencial para encontrar o vetor normal.
alpha''(t) = ( ddt[-4 sin t], ddt[4 cos t], ddt[3] ) = (-4 cos t, -4 sin t, 0)

Passo 4

O vetor normal é o vetor acelerador normalizado. Para normalizar, vamos calcular o módulo de alpha''(t):
||alpha''(t)|| = raiz(-4 cos t)^2 + (-4 sin t)^2 + 0^2 = raiz16 cos^2 t + 16 sin^2 t = raiz16 (cos^2 t + sin^2 t) = raiz16 = 4

Passo 5

Agora, dividimos o vetor alpha''(t) pelo seu módulo para obter o vetor normal unitário:
N(t) = alpha''(t)||alpha''(t)|| = (-4 cos t, -4 sin t, 0)4 = (-cos t, -sin t, 0)

Resposta

O vetor normal unitário é N(t) = (-cos t, -sin t, 0).

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