A curva conhecida como astroide é descrita pela equação alpha(t)=(cos (t)^3, sen(t)^3). Encontre a fórmula que descreve seu comprimento de arco de 0 até t, com 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a fórmula que descreve o comprimento de arco da curva chamada astroide, que é dada por alpha(t) = (cos(t)^3, sin(t)^3), no intervalo de 0 até t, onde 0 < t < pi2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no plano, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos uma curva alpha(t) = (x(t), y(t)), o comprimento de arco s de t = a até t = b é dado por:
s = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Então, vamos aplicar isso à nossa astroide.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t). Temos:
x(t) = cos(t)^3 y(t) = sin(t)^3
Então,
dxdt = 3cos(t)^2 cdot (-sin(t)) = -3cos(t)^2 sin(t) dydt = 3sin(t)^2 cos(t)

Passo 4

Agora, vamos calcular (dxdt)^2 + (dydt)^2:
(-3cos(t)^2 sin(t))^2 + (3sin(t)^2 cos(t))^2 = 9cos(t)^4 sin(t)^2 + 9sin(t)^4 cos(t)^2
Podemos fatorar 9cos(t)^2 sin(t)^2:
9cos(t)^2 sin(t)^2 (cos(t)^2 + sin(t)^2)
Como cos(t)^2 + sin(t)^2 = 1, isso simplifica para:
9cos(t)^2 sin(t)^2

Passo 5

Então, a expressão dentro da raiz para o comprimento de arco fica:
raiz9cos(t)^2 sin(t)^2 = 3cos(t) sin(t)
Agora, vamos montar a integral do comprimento de arco:
s(t) = integral0^t 3cos(u) sin(u) , du
(Usei u como variável de integração para evitar confusão com o limite superior t.)

Passo 6

Vamos resolver a integral:
s(t) = 3 integral0^t cos(u) sin(u) , du
Sabemos que cos(u)sin(u) = 12sin(2u), então:
s(t) = 3 cdot 12 integral0^t sin(2u) , du = 32 [ -12cos(2u) ]0^t

Passo 7

Calculando os limites da integral:
s(t) = 32 ( -12cos(2t) + 12cos(0) ) = 32 ( -12cos(2t) + 12 )
Simplificando:
s(t) = 34 (1 - cos(2t))

Resposta

A fórmula que descreve o comprimento de arco da astroide de 0 até t, onde 0 < t < pi2, é:
s(t) = 34 (1 - cos(2t))

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