A curva conhecida como astroide é descrita pela equação
. Encontre a fórmula que descreve seu comprimento de arco de 0 até
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a fórmula que descreve o comprimento de arco da curva chamada astroide, que é dada por
, no intervalo de
até
, onde
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no plano, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos uma curva
, o comprimento de arco
de
até
é dado por:
Então, vamos aplicar isso à nossa astroide.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
. Temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Podemos fatorar
:
Como
, isso simplifica para:
Passo 5
Então, a expressão dentro da raiz para o comprimento de arco fica:
Agora, vamos montar a integral do comprimento de arco:
(Usei
como variável de integração para evitar confusão com o limite superior
.)
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Calculando os limites da integral:
Simplificando:
Resposta
A fórmula que descreve o comprimento de arco da astroide de
até
, onde
, é: